Порядок гладкости

Гладкая функция — это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения.

Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости r имеет непрерывную производную порядка r. Множество таких функций, определённых в области Ω обозначается C^r(Ω). $f\in C^\infty(\Omega)$ означает, что $f\in C^r(\Omega)$ для любого r, а $f\in C^\omega(\Omega)=C^a(\Omega)$ означает, что f — аналитическая.

Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.

Функция f принадлежит классу $C^{r,\;\alpha}$, где r — целое неотрицательное число и $0<\alpha\leqslant 1$, если имеет производные до порядка r включительно и f^(r) является гёльдеровской с показателем α.

В переводной литературе, наравне с термином «показатель Гёльдера», используется термин «показатель Липшица».