Поле (алгебраич.)

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция или сложение) и $\cdot$ (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей $1 \neq 0$, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями + (сложение) и $\cdot$ (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

Связанные определения

• Характеристика поля — наименьшее положительное целое n число такое, что сумма n копий единицы равна нулю:
      $n\cdot 1=0$
  Если такого числа не существует то характеристика равна 0 по определению.
• Подполем поля k называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в k.
• Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.

Свойства

• Характеристика поля всегда 0 или простое число.
  • Поле характеристики 0 содержит подполе изоморфное полю рациональных чисел $\mathbb Q$.
  • Поле простой характеристики p содержит подполе изоморфное полю вычетов $\Z_p$ .
• Количество элементов в конечном поле всегда равно pⁿ, степени простого числа.
  • При этом для любого числа вида pⁿ существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из pⁿ элементов, обычно обозначаемое $\mathbb{F}_{p^n}$.
• Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.
• В поле нет делителей нуля.

Примеры

• $\mathbb{Q}$ — рациональные числа,
• $\mathbb{R}$ — вещественные числа,
• $\mathbb{C}$ — комплексные числа,
• $\mathbb{Z}_p$ — поле вычетов по модулю p, где p — простое число.
• $\mathbb{F}_q$ — конечное поле из q = p^k элементов, где p — простое число, k — натуральное.

См.также

• Конечное поле
• Алгебраическая система

Ссылки