ЯНГА-МИЛЛСА ПОЛЕ

- связность в главном расслоении над (псевдо) римановым многообразием, кривизна к-рой удовлетворяет условию гармоничности (уравнению Янга - Миллса).
Я.- М. п., наз. также калибровочными полями, используются в современной физике для описания физич. полой, играющих роль переносчиков взаимодействия. Так, электромагнитное поле в электродинамике, поле векторных W -бозонов - переносчиков слабого взаимодействия в теории электрослабого взаимодействия Вайнберга - Салама и, наконец, глюонное поле - переносчик сильного взаимодействия - описываютсяЯ.- М. <п. <Гравитационноеполетакже может быть интерпретировано как Я. -М. п. (см. [4]).
Впервые концепция связности как нек-рого поля была развита Г. Вейлем (II. Weyl, 1917), к-рый также сделал попытку описания электромагнитного ноля в терминах связности. В 1954 Ч. Янг (С. Yang) и Р. Миллс (R. Mills) предположили, что пространство внутренних степеней свободы элементарных частиц (напр., изотопич. пространство, описывающее две степени свободы нуклона, соответствующих двум его чистым состояниям - протону и нейтрону) зависит от точки пространства - времени, причем внутренние пространства, соответствующие различным точкам, канонически не изоморфны. На геометрич; языке предположение Янга - Миллса состоит в том, что пространство внутренних степеней свободы является векторным расслоением над пространством - временем, не обладающим канонич. тривиализацией, а физич. поля описываются сечениями этого расслоения. Для написания дифференциального уравнения эволюции поля необходимо ввести н расслоение нек-рую связность - тривиализацию расслоения вдоль кривых базы. Такая связность с фиксированной гpyппой голономии описывает физич. поле (получившее назв. поля Янга - Миллса). Из вариационного принципа вынодятся уравнения для свободного Я.- М. п., являющиеся естественным нелинейным обобщением Максвелла уравнений.
Более строгое определение Я.- М. п. состоит в следующем. Пусть - главное G -расслоение над римановым многообразием М и М - векторное расслоение, ассоциированное с и G -модулем E. Связность расслоения определяет оператор действующий в пространстве Г (Е )сечений расслоения Е (М ). Он продолжается до оператора действующего в пространстве Г(E_p ) E (M )-значных р- форм по формуле Формально сопряженный к оператор на р -формах равен где * - оператор Ходжа.
Связность в главном G -расслоении наз. полем Янга - Миллса, если кривизна рассматриваемая как 2-форма со значениями в векторном расслоении (где - алгебра Ли группы Ли G ), удовлетворяет уравнению
Для римановой связности риманова многообразия ( М, g )уравнение Янга - Миллса равносильно условию симметричности

ковариантной производной тензора Риччи ric. Таким образом, примерами Я.- М. п. служат римановы связности пространств Эйнштейна и прямых произведений таких пространств. В частности, римановы связности пространств Кэлера - Эйнштейна и кватернионных римановых пространств определяют Я.- М. п. в главных расслоениях реперов со структурными группами U ( п/2 ) и Sp (l) х Sp (n /4). Примерами неэйнштейновых римановых связностей, удовлетворяющих уравнению Янга - Миллса, являются римановы связности конформно плоских метрик с постоянной скалярной кривизной и непостоянной секционной кривизной. Примерами неримановых связностей, удовлетворяющих уравнениям Янга - Миллса, являются связности в нормальном расслоении вполне геодезич. подмногообразий симметрического пространства или кватернионных подмногообразий кватернионного пространства, индуцированные римановыми связностями этих пространств. Уравнение Янга - Миллса является вариационным уравнением Эйлера - Лагранжа для функционала в пространстве связностей главного расслоения p, задаваемого формулой

Риманово многообразие ( М, g )предполагается компактным и ориентированным, а скобка означает скалярное произведение в слоях векторного расслоения определяемое AdG -инвариантным скалярным произведением в алгебре Ли q группы G и скалярным произведением в слоях расслоения 2-форм на М, индуцированным-метрикой g . Таким образом, Я.- М. п. суть критич. точки функции Я.- М. п. наз. устойчивым, если 2-й дифференциал функции L в точке положительно определен (и, следовательно, есть локальный минимум функции L )и cлaбо устойчивым, если 2-й дифференциал неотрицательно определен. Известно, что не существует слабо устойчивых Я.-М. п., в произвольном нетривиальном главном расслоении над стандартной сферой Sⁿ при С другой стороны, при риманова связность стандартной римановой метрики факторпространства Sⁿ/ Г сферы по свободно действующей нетривиальной конечной группе изометрий Г является устойчивым Я.-М. <п. [5].
Наибольший интерес для физики представляет Я.- М. <п. на четырехмерных римановых (а также лоренцевых) многообразиях. В этом случае оператор Ходжа * отображает пространство 2-форм на М (со значениями в произвольном векторном расслоении) на себя, причем это отображение является инволютивным (*²=id ) и зависит только от ориентации и конформного класса метрики g. Связность в главном расслоении над М ⁴ наз. самодуальной связностью или инстантоном (соответственно, антисамодуальной связностью или антиинстантоном), если ее 2-форма кривизны является собственным вектором оператора Ходжа с собственным значением 1 (соответственно, -1). В силу тождества Бьянки инстантоны и антиинстантоны являются Я.- М. п. Более того, они являются точками абсолютного минимума функции L. В случае главного расслоения над стандартной сферой со структурной группой SU (2), SU (3)или SU (4) все локальные минимумы функции L исчерпываются инстантонами и антиинстантонами (и, следовательно, являются глобальными). Риманова связность риманова многообразия М ⁴ является инстантоном только для многообразий с группой голономии Все такие компактные многообразия исчерпываются комплексными поверхностями КЗ.
Группа тождественных на базе автоморфизмов расслоения наз. калибровочной группой. Она естественным образом действует в множестве инстантонов расслоения я с группой голономии G . Факторпространство наз. пространством модулей неприводимых инстантонов расслоения Если структурная группа G расслоения компактна и полупроста, а база М ⁴ является компактным ориентированным римановым многообразием с неотрицательной ненулевой скалярной кривизной и самодуальным тензором конформной кривизны Вейля, то пространство модулей либо пусто, либо является многообразием размерности

где - первое Понтрягина число расслоения а - характеристика Эйлера - Пуанкаре и сигнатура многообразия M ⁴.
Наиболее полные результаты получены в физически важном случае расслоений над стандартной сферой S ⁴ с классическими компактными структурными группами G . В частности, получено описание зсех инстантонов в таких расслоениях в чисто алгебраич. терминах (напр., в терминах нек-рых модулей над грассмановой алгеброй или в терминах решений нек-рых кватернионных матричных уравнений, см. [1]). Для случая группы G =Sp (l) известно явное описание всех инстантонов. Напр., для Sр (1)-расслоения с Понтрягина числом 1 пространство модулей где - множество положительных чисел, а - множество кватернионов. Паре отвечает инстантон, задаваемый -значной 1-формой связности

где Кватернионы из отождествляются с точками сферы S ⁴ с помощью стереографич. проекции, а алгебра Ли =Sp (1)рассматривается как алгебра Ли Im чието мнимых кватернионов.

Лит.:[1] Манин Ю. И., в сб.: Итоги науки и техники. Соврем. проблемы матем., т. 17, М., 1981 с. 3-55: [2] Шварц А. С., там же, с. 113-73; [3] Atiуаn М. [и др.], лРrос. Roy. Soc. Lond.