АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ


АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ

поле А:, в к-ром всякий многочлен ненулевой степени над kимеет хотя бы один корень. В действительности, из алгебраич. замкнутости поля будет следовать, что каждый многочлен степени пнад kимеет в kровно пкорней, т. е. каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов k[х]имеет степень 1. Поле kалгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного алгебраич. расширения (см. Расширение поля).

Существует единственное с точностью до изоморфизма алгебраич. расширение поля k, являющееся А. з. п.; оно наз. алгебраическим замыканием поля kи обычно обозначается через k. Всякое А. з. п., содержащее k, содержит подполе, изоморфное k.

Алгебраич. замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраич. замкнутость устанавливается Алгебры, основной теоремой.

Лит.:[1 ] 3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 1, пер. с англ., М., 1963; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968. О. А. Иванова.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ" в других словарях:

  • Алгебраически замкнутое поле — Для термина «Замыкание» см. другие значения. Алгебраически замкнутое поле  поле , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень. Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его… …   Википедия

  • Поле (алгебраич.) — Поле алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия… …   Большая советская энциклопедия

  • Поле — I Поле         1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь Севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с. х. растений. 3)… …   Большая советская энциклопедия

  • ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ — в векторном пространстве V гомоморфизм r алгебры Ли Lнад полем kв алгебру Ли всех линейных преобразований пространства Vнад k. Два представления и наз. эквивалентными (или изоморфными), если существует изоморфизм , для к рого a(r1 (l) v1).r2(l)a… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ РАЗРЕШИМАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли над полем К, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий: 1) члены производного ряда для равны {0} при достаточно большом k; 2).существует конечная убывающая цепочка идеалов алгебры таких, что и (т. е. алгебры Ли абелевы) …   Математическая энциклопедия

  • КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — гомоморфизм конечной группы Gв группу обратимых линейных операторов в векторном пространстве над полем К. Теория К …   Математическая энциклопедия

  • ШЕВАЛЛЕ ГРУППА — линейная алгебраич. группа над нек рым полем, связанная с полупростой комплексной алгеброй Ли. Пусть Ли полупростая алгебра над ее подалгебра Картана, система корней алгебры относительно система простых корней, базис Шевалле алгебры его линейная… …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Гильберта о нулях — (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как теорема о нулях ) теорема, устанавливающая фундаментальную связь между… …   Википедия

  • ВИТТА КОЛЬЦО — поля k, кольцо типов квадратичных форм над k, кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для… …   Математическая энциклопедия

  • СПИНОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — простейшее точное линейное представление спинорной группы,Spinn(Q) или определяющее его линейное представление объемлющей четной алгебры Клиффорда С += С +(Q). Если основное поле . алгебраически замкнуто, то алгебра С+ изоморфна полной матричной… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.