Оригинал (операционное исчисление)

Функция-оригинал — фундаментальное понятие в операционном исчислении; для того, чтобы функция $f\colon{\R\to\C}$ могла называться оригиналом, она должна удовлетворять трем условиям:

1. f удовлетворяет условию Гёльдера почти всюду на вещественной прямой $\R$, притом на произвольном конечном интервале $(a;b)\subset\R$ множество точек, в которых указанное условие не выполняется, конечно, притом в этих точках она должна претерпевать разрыв 1-го рода. Формально, для произвольного t, не относящегося к упомянутому множеству, должны существовать положительные постоянные $A,\,\alpha\leqslant 1,\,h_0$, такие, что $|f(t+h)-f(t)|\leqslant A|h|^\alpha$ для произвольного $h\in[-h_0;h_0]$.
2. f(t) = 0 при t < 0.
3. на функцию f(t) накладывается определённое ограничение — она должна возрастать не быстрее показательной функции. Формально, для этой функции должны существовать постоянные $M&amp;gt;0,\,s_0\geqslant 0$ такие, что $|f(t)|&amp;lt;Me^{s_0t}$ для произвольного $t\in\R$.

Для большинства физических задач все эти три условия соблюдены. Более того, с использованием функции Хевисайда H(t) можно получить функцию-оригинал из функции, удовлетворяющей только условиям 1 и 3.