Операционное исчисление

        один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. О. и. имеет особенно важное значение в механике, автоматике, электротехнике и др. В основе метода О. и. лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми др. функциями (изображениями), получаемыми из первых по определённым правилам (обычно, изображение — функция, получаемая из данной Лапласа преобразованием). При такой замене оператор дифференцирования р =

         Для развития О. и. большое значение имели работы английского учёного О. Хевисайда. Он предложил формальные правила обращения с оператором р = f (t), 0 ≤ t < + ∞, переходит в функцию F (z), z = x+iy:

         f (t) → F (z),

         то производная

         f (t) → zF (z) – f (0) (*)

         и интеграл

        

         Следовательно, оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную z, а интегрирование сводится к делению на z. В след. краткой таблице даны (при t ≥ 0) примеры соответствия

        

        ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

        | оригинал →                                                      | изображение                                                    |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | f (t)                                                                  | F (z)                                                                 |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | 1                                                                     | 1/z                                                                   |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | t ⁿ                                                                    | n!/z ⁿ⁺¹ (n > 0 – целое)                                      |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | е ^λt                                                                   | 1/(z – λ)                                                           |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | cos wt                                                              | z/(z ² + ω²)                                                       |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | sin wt                                                               | ω/(z ² + ω²)                                                      |

        ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

        

         Пример. Найти методом О. и. решение у = f (t) линейного дифференциального уравнения

         у” – у' – 6у = 2e ^4t

         при начальных условиях

         y₀ = f (0) = 0 и y₀'=f’(0) = 0.

         Переходя от искомой функции f (t) и данной функции 2e^4t к их изображениям F (z) и 2/(z – 4) (см. табл.) и применяя формулу (*) для изображения производных, получим

         z²F (z) – zF (z) – 6F (z) =

         или

         F (z) =

         Откуда (опять по таблице)

         y = f (t) =

         Другой путь обоснования О. и. предложен польским математиком Я. Микусиньским (1953), опиравшимся на понятие функционального кольца. Для обоснования методов О. и. можно воспользоваться теорией обобщённых функций. Имеются различные обобщения О. и. Существует многомерное О. и., основанное на теории кратных интегралов. Созданы О. и. дифференциальных операторов, отличных от оператора р = B = Эти теории также основываются на изучении функциональных колец, в которых надлежащим образом определено понятие произведения функций.

         Лит.: Диткин В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному исчислению, М., 1965; их же, Операционное исчисление, М., 1966; Микусинский Я., Операционное исчисление, пер. с польск., М., 1956; Штокало И. 3., Операционное исчисление, К., 1972.

         В. А. Диткин.