Обратный предел

Проективный (или обратный) предел — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики.

Эта конструкция позволяет построить новый объект X по последовательности однотипных объектов X_i и набору отображений $\varphi_{i,\;j}:X_i\to X_j$, $i\leqslant j$. Для проективного предела обычно используется обозначение

$X=\varprojlim X_i$, или $X=\projlim X_i$.

Определение

Пусть I — множество, снабжённое отношением предпорядка $\leqslant$ (например, множество целых чисел), и каждому элементу $i\in I$ сопоставлено множество X_i, а каждой паре $(i,\;j)$, $i,\;j\in I$, в которой $i\leqslant j$, сопоставлено отображение $\varphi_{i,\;j}:X_i\to X_j$, причём $\varphi_{i,\;i}$ — тождественные отображения и $\varphi_{i,\;k}=\varphi_{j,\;k}\circ\varphi_{i,\;j}$.

Множество X назывется проективным пределом семейства множеств X_i и отображений $\varphi_{i,\;j}$, или $X=\varprojlim X_i$, если выполнены следующие условия:

1. существует такое семейство отображений $\pi_i:X\to X_i$, что $\pi_j=\varphi_{i,\;j}\circ\pi_i$ для любой пары $i\leqslant j$;
2. для любого семейства отображений $\sigma_i:Y\to X_i$, произвольного множества Y, для которого выполнены равенства $\sigma_j=\varphi_{i,\;j}\circ\sigma_i$ для любой пары $i\leqslant j$, существует такое однозначно определенное отображение $\sigma:Y\to X$, что $\sigma_i=\pi_i\circ\sigma$, для всех $i\in I$.

Конструктивно проективный предел можно описать как подмножество в прямом произведении $\prod_{i\in I}X_i$

$\varprojlim X_i = \bigg\{(x_i)\in\prod_{i\in I}X_i\mid x_j=\varphi_{ij}(x_i)\forall i\leqslant j\bigg\}.$

Если все X_i снабжены дополнительной однотипной структурой, которая переносится на $\prod_{i\in I}X_i$, то при естественных предположениях на отображения $\varphi_{i,\;j}:X_i\to X_j$, эта же структура индуцируется и в проективном пределе. Поэтому можно говорить о проективных пределах групп, модулей, топологических пространств и т. д.

Примеры

• Целые p-адические числа являются проективным пределом последовательности $\Z_{p^n}$ с естественными отображениями $\Z_{p^n}\to\Z_{p^m}$, при $n\geqslant m$.
• Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств с проекциями на первые координаты как отображения.

Вариации и обобщения

Естественным обобщением понятия проективного предела является понятие проективного предела функтора.