- Нильпотентный элемент
-
Нильпотентный элемент или нильпотент ― элемент
кольца, удовлетворяющий равенству
для некоторого натурального
. Минимальное значение
, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента
.
Рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).
Примеры
- В кольце вычетов по модулю
, где
― некоторое простое число, класс вычетов числа
― нильпотент индекса
,
- Матрица
-
- является нильпотентом индекса
в кольце
-матриц
Связанные определения
- элемент кольца
называется унипотентным (или унипотентом) если
является нильпотентным,
- Например, унипотентной является матрица
- Например, унипотентной является матрица
Свойства
- Если
― нильпотентный элемент индекса n, то справедливо равенство
-
,
- т. е. элемент
обратим и обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от
.
- В коммутативном кольце элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах.
- Все нильпотентные элементы образуют идеал
, называемым нильрадикалом кольца совпадающий с пересечением всех простых идеалов. Кольцо
уже не имеет нильпотентных элементов, отличных от нуля.
- При интерпретации коммутативного кольца как кольца функций на пространстве его спектре нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю.
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 14 мая 2011.Категория:- Теория колец
- В кольце вычетов по модулю
Wikimedia Foundation. 2010.