- Нильпотентный элемент
-
Нильпотентный элемент или нильпотент ― элемент кольца, удовлетворяющий равенству для некоторого натурального . Минимальное значение , для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента .
Рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).
Примеры
- В кольце вычетов по модулю , где ― некоторое простое число, класс вычетов числа ― нильпотент индекса ,
- Матрица
-
- является нильпотентом индекса в кольце -матриц
Связанные определения
- элемент кольца называется унипотентным (или унипотентом) если является нильпотентным,
- Например, унипотентной является матрица
- Например, унипотентной является матрица
Свойства
- Если ― нильпотентный элемент индекса n, то справедливо равенство
-
- ,
- т. е. элемент обратим и обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от .
- В коммутативном кольце элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах.
- Все нильпотентные элементы образуют идеал , называемым нильрадикалом кольца совпадающий с пересечением всех простых идеалов. Кольцо уже не имеет нильпотентных элементов, отличных от нуля.
- При интерпретации коммутативного кольца как кольца функций на пространстве его спектре нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю.
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 14 мая 2011.Категория:- Теория колец
Wikimedia Foundation. 2010.