Унипотентный элемент

Унипотентный элемент

Нильпотентный элемент или нильпотент ― элемент a кольца, удовлетворяющий равенству an = 0 для некоторого натурального n. Минимальное значение n, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента a.

Рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Примеры

\begin{pmatrix} 
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
является нильпотентом индекса 2 в кольце 2\times 2-матриц

Связанные определения

  • элемент кольца u называется унипотентным (или унипотентом) если u − 1 является нильпотентным,
    • Например, унипотентной является матрица
      \begin{pmatrix} 
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}

Свойства

  • Если a ― нильпотентный элемент индекса n, то справедливо равенство
1=(1-a)(1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}),
т. е. элемент (1 − a) обратим и обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от a.
  • В коммутативном кольце элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах.
  • Все нильпотентные элементы образуют идеал J, называемым нильрадикалом кольца совпадающий с пересечением всех простых идеалов. Кольцо A / J уже не имеет нильпотентных элементов, отличных от нуля.
  • При интерпретации коммутативного кольца как кольца функций на пространстве его спектре нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Унипотентный элемент" в других словарях:

  • УНИПОТЕНТНЫЙ ЭЛЕМЕНТ — элемент . линейной алгебраич. группы G, совпадающий с унипотентной компонентой gu своего Жордана разложения в группе G. Если реализовать G как замкнутую подгруппу группы GL(V)автоморфизмов конечномерного векторного пространства Vнад основным… …   Математическая энциклопедия

  • РАНГ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ — G размерность любой из ее Картана подгрупп (эта размерность не зависит от выбора подгруппы Картана). Наряду с Р. а. г. Gрассматриваются ее п о л у п р о с т о й р а н г и р е д у к т и в н ы й р а н г, к рые, по определению, равны соответственно… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»