Неравенства Морса

Неравенства Морса — вытекающие из теории Морса неравенства, связывающие число критических точек функции Морса на многообразии с его гомологическими инвариантами.

Пусть $f$ — функция Морса на гладком $n$-мерном многообразии (без края) $M$, имеющая конечное число критических точек. Тогда группы гомологий $H_k(M)$ конечно порождены и потому определены их ранги $r_k=rk(H_k(M))$ (см. числа Бетти, $r_k=b_k(M)$) и периодические ранги $t_k=t(H_k(M))$ (периодический ранг абелевой группы $A$ с конечным числом образующих — минимальное число циклических групп, в прямую сумму которых может быть разложена максимальная периодическая подгруппа группы $A$). Неравенства Морса связывают число $m_k$ критических точек функции $f$, имеющих Морса индекс $k$, с этими рангами, и имеют вид:

$r_k+t_k+t_{k-1}\le m_k$

$\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}r_i\le\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}m_i$

При $k=n$ последнее неравенство всегда является равенством, а значение обеих частей является эйлеровой характеристикой многообразия $M$.

Теорема Смейла

Согласно неравенствам Морса многообразие, имеющее «большие» группы гомологии, не допускает функций Морса с малым числом критических точек. Замечательно, что даваемые неравенствами Морса оценки точны:

На замкнутом односвязном многообразии размерности $\ge 6$ существует функция Морса, для которой все неравенства Морса являются равенствами.

В частности, на любом замкнутом многообразии, гомотопически эквивалентном сфере $S^n$ с $n\ge6$, существует функция Морса с двумя критическими точками, откуда непосредственно следует, что многообразие гомеоморфно сфере. Аналогичное применение теоремы Смейла позволяет доказать и теоремы об h- и s-кобордизмах.

Обобщения

• Неравенства Морса имеют место и для функций Морса триад $(W, V_0, V_1)$, достаточно заменить группы $H_k(M)$ группами относительных гомологий $H_k(W, V_0)$.
• Аналоги неравенств Морса имеют место также для функций Морса $f:X\to\R$ на бесконечномерных гильбертовых многообразиях и связывают.