МОРСА ТЕОРИЯ

- общее название для трех различных теорий, основывающихся на идеях М. Морса [1] и описывающих связь алгебро-топологич. свойств топологич. пространства с экстремальными свойствами функций (функционалов) на нем. М. т. является разделом вариационного исчисления в целом;однако последнее шире: напр., оно включает в себя теорию категорий в смысле Люстерннка - Шнирельмана.

1) М. т. критических точек гладких функций f на гладком многообразии М(сокращенно - М. т. 1) разбивается на две части: локальную и глобальную. К локальной части относятся понятия крптич. точки гладкой функции, гессиана функции в ее критич. точке, Морса индекса крптич. точки и т. п. Основным результатом ее является Морса лемма, описывающая строение гладкой функции в окрестности невырожденной критич. точки.

Изучение гладких функций в окрестностях вырожденных точек не относится собственно к М. т. и выделяется в отдельную теорию особенностей дифференцируемых отображений.

Основными утверждениями глобальной М. т. являются следующие. Пусть f - функция на гладком многообразии М. Если множество не содержит критич. точек функции f и не пересекается с краем многообразия М, то является гладким многообразием с краем . Если множество компактно, не пересекается с краем многообразия Ми не содержит критич. точек функции f, то существует такая гладкая изотопия (осуществляемая сдвигом по траекториям градиента функции f), что днффеоморфно отображает па . В частности, диффеоморфно и включение является гомотопич. эквивалентностью.

Если множество компактно, не пересекается с краем многообразия Ми содержит ровно одну критич. точку имеющую индекс Морса, то диффеоморфно многообразию, полученному из приклеиванием ручки индекса . В частности, если р- единственная точка глобального минимума функции f, то при малом множество диффеоморфно диску , где . Отсюда следует, что если М- замкнутое гладкое многообразие, обладающее функцией с ровно двумя критич. точками (причем обе невырожденные), то Мполучается склейкой двух гладких дисков по их общей границе и потому гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере

Поскольку приклеивание ручки индекса гомотопически эквивалентно приклеиванию клетки размерности , отсюда непосредственно вытекает следующая основная теорема М. т. 1: каждой Морса функции. f на гладком многообразии М (без края) отвечает гомотопически эквивалентное многообразию М клеточное пространство, клетки к-рого находятся в биективном соответствии с критич. точками функции f, причем размерность клетки равна индексу соответствующей критич. точки. Морса неравенства являются непосредственным следствием этой теоремы. Аналогичная теорема справедлива и для функций Морса триад

2) М. т. геодезических на римановом многообразии (сокращенно - М. т. 2) описывает гомотопич. тип петель пространства гладкого многообразия Мс римановой метрикой . Ее цель - перенести на случай этого пространства (вернее, его подходящей модели) результаты М. т. 1. Роль функции f играет при этом определенный на пространстве кусочно гладких путей функционал действия Е(иногда неправильно наз. функционалом энергии [5]), значения к-рого на пути определяются в локальных координатах формулой

В первоначальном построении М. т. рассматривался функционал длины

но по многим технич. причинам функционал Еоказывается предпочтительнее. Вместе с тем экстремали функционала (т. е. пути , для к-рых определенный вариацией функционала Елинейный функционал на пространстве равен нулю) совпадают с геодезическими метрики (экстремалями функционала длины L)в их натуральной параметризации.

Пусть р, q- две (не обязательно различные) точки из Ми - пространство кусочно гладких путей, соединяющих pc q. Для каждого полагается

Если риманово многообразие полно, то пространство (внутренность множества ) деформационно ретрагируется на нек-рое гладкое многообразие В, точками к-рого являются "ломаные геодезические" с фиксированным числом звеньев, соединяющие рс q(так что, в частности, Всодержит все геодезические из ). При этом функция гладкая; для любого множество компактно и является деформационным ретрактом множества критич. точки функции совпадают с экстремалями функционала и представляют собой геодезические, соединяющие рс qи имеющие длину индекс Морса критич. точки функции равен индексу Морса соответствующей геодезической; нулевое пространство функционала на геодезической конечномерно и изоморфно нулевому пространству гессиана функции в соответствующей критич. точке; в частности, если ри q не сопряжены ни на одной соединяющей их геодезической , то - функция Морса. Применяя М. т. 1 и переходя к пределу при и замечая, что пространство гомотопически эквивалентно пространству всех непрерывных путей, соединяющих pc q, получаем следующую основную теорему М. т. 2: пусть М- полное риманово многообразие и р, q- две его точки, не сопряженные ни на какой соединяющей их геодезической. Пространство всех путей, соединяющих рс q, гомотопически эквивалентно клеточному пространству, клетки размерности к-рого находятся в биективном соответствии с геодезическими индекса , соединяющими рс q.

Так как гомотопич. тип пространства не зависит от выбора точек ри q, то теорема дает, в частности, описание гомотоппч. типа пространства петель

Известно [10], что для нестягиваемого многообразия Мпространство имеет нетривиальные группы гомологии в сколь угодно больших размерностях. В силу основной теоремы М. т. 2 отсюда следует, что несопряженные точки в полном римановом нестягиваемом многообразии соединены бесконечным числом геодезических (на примере сферы видно, что, вообще говоря, эти геодезические могут быть отрезками одной периодической геодезической).

В даваемом основной теоремой описании гомотопич. типа фигурируют (хотя и неявно) поля Якоби, поэтому М. т. устанавливает связь между кривизной многообразия и его топологией. Напр., если М- полное односвязное риманово многообразие, кривизна к-рого по всем двумерным направлениям неположительна, то любое поле Якоби, обращающееся в нуль в двух точках геодезической, является тождественно нулевым. Поэтому пространство петель такого многообразия имеет тип нульмерного клеточного пространства и, следовательно (ввиду односвязности М), стягиваемо. Поэтому Мтакже стягиваемо, т. е. гомотопически эквивалентно пространству . Более тонкое использование соображений М. т. показывает, что Мдаже диффеоморфно пространству (см. [3], [5]).

Весьма эффективным оказалось применение М. т. к топологии групп Ли [3]. Напр., для любой односвязной группы Ли G пространство имеет гомотопич. тип клеточного пространства без нечетномерных клеток. Апофеозом здесь является теорема Ботта о периодичности, играющая основополагающую роль в K-теории и, следовательно, во всей дифференциальной топологии. Пусть V- предел последовательности вложенных унитарных групп - предел последовательности вложенных ортогональных групп Теорема периодичности Ботта утверждает, что имеют место гомотопич. эквивалентности есть n-кратная итерация функтора перехода к пространству петель. Эта теорема позволяет вычислить гомотопич. группы и и, следовательно, гомотопич. группы и при

М. т. 2 обобщается также на случай, когда вместо точек р, q рассматриваются гладкие подмногообразия V₀ , V₁ многообразия М. Изучается функционал действия на пространство всех кусочно гладких путей трансверсальных на концах кV₀ и V₁ , и устанавливается связь экстремалей этого функционала с гомотопич. типом пространства . Соответствующая основная теорема аналогична сформулированной выше основной теореме М. т. 2; трудность состоит в геометрич. интерпретации индекса Морса геодезической.

3) Естественным развитием М. т. 2 является М. т. критич. точек гладких функций на банаховых (бесконечномерных) многообразиях - М. т. 3, представляющая собой уже не аналог, а непосредственное обобщение М. т. 1. К настоящему времени (1982) М. т. 3 находится в стадии становления и построена лишь в весьма предварительном контексте при очень сильных (и явно не необходимых) условиях на модельное банахово пространство (типа сепарабельности и гильбертовости), когда не возникает специфических функционально-аналитич. трудностей [9], хотя имеются и попытки построения М. т. 3 в довольно общей ситуации. Поэтому в современном виде М. т. 3 является почти дословным повторением М. т. 1. Единственное заслуживающее быть отмеченным отличие состоит в том, что в М. т. 3 условие компактности множеств заменяется условием СПале - Смейла (см. Морса функция), к-рое, впрочем, выполняется не во всех интересных ситуациях. Кроме того, хотя для банаховых многообразий приходится приклеивать и ручки бесконечного индекса, в силу гомотопич. тривиальности бесконечномерных сфер эти ручки на гомотопич. тип не влияют. Поэтому в основной теореме М. т. 3 участвуют лишь критич. точки конечного индекса.

Лит.:[1] Morse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934; [2] Mилнор Д ж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965; [3] его же, Теорема об h-кобордизме, пер. с англ., М., 1969; [4] 3ейферт Г., Трельфалль В., Вариационное исчисление в целом, пер. с нем., М., 1947; [5] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. снем., М., 1971; [6] Бишоп Р.-Л., Криттенден Р.- Д ж., Геометрия многообразий, пер. с англ., М., 1967; [7] Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; [8] его же, Вариационная теория геодезических, М., 1965; [9] Иллс Д ж., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 3, с. 157- 210; [10] Серр Ж.-П., Сингулярные гомологии расслоенных пространств, в кн.: Расслоенные пространства и их приложения, пер. с франц., М., 1958, с. 9-98.

М. М. Постников, Ю. Б. Рудяк.