Траектория материальной точки


Траектория материальной точки
Траектории трёх объектов (угол запуска — 70°, Distance — расстояние, Height — высота), разное лобовое сопротивление

Траекто́рия материа́льной то́чки  — линия в трёхмерном пространстве, представляющая собой множество точек, в которых находилась, находится или будет находиться материальная точка при своём перемещении в пространстве.[1]. Существенно, что понятие о траектории имеет физический смысл даже при отсутствии какого-либо по ней движения. Кроме того, и при наличии движущегося по ней объекта, траектория сама по себе не может ничего дать в отношении причин движения, то есть о действующих силах.[2]

Содержание

Описание траектории

Принято описывать траекторию материальной точки при помощи радиус-вектора, направление, длина и начальная точка которого зависят от времени. При этом кривая, описываемая концом радиус-вектора в пространстве может быть представлена в виде сопряжённых дуг различной кривизны, находящихся в общем случае в пересекающихся плоскостях. При этом кривизна каждой дуги определяется её радиусом кривизны, направленном к дуге из мгновенного центра поворота, находящегося в той же плоскости, что и сама дуга. При том прямая линия рассматривается как предельный случай кривой, радиус кривизны которой может считаться равным бесконечности.И потому траектория в общем случае может быть представлена как совокупность сопряжённых дуг.

Существенно, что форма траектории зависит от системы отсчёта, избранной для описания движения материальной точки. Так прямолинейное движение в инерциальной системе в общем случае будет параболическим в равномерно ускоряющейся системе отсчёта.

Связь со скоростью и нормальным ускорением

Скорость материальной точки всегда направлена по касательной к дуге, используемой для описания траектории точки. При этом существует связь между величиной скорости v, нормальным ускорением an и радиусом кривизны траектории ρ в данной точке:

a_n = \frac{v^2}{R}

Связь с уравнениями динамики

Представление траектории как следа, оставляемого движением материальной точки, связывает чисто кинематическое понятие о траектории, как геометрической проблеме, с динамикой движения материальной точки, то есть проблемой определения причин её движения. Фактически, решение уравнений Ньютона (при наличии полного набора исходных данных) даёт траекторию материальной точки. И наоборот, зная траекторию материальной точки в инерциальной системе отсчёта и её скорость в каждый момент времени, можно определить силы, действовавшие на неё.

Траектория свободной материальной точки

В соответствии с Первым законом Ньютона, иногда называемым законом инерции должна существовать такая система, в которой свободное тело сохраняет (как вектор) свою скорость. Такая система отсчёта называется инерциальной. Траекторией такого движения является прямая линия, а само движение называется равномерным и прямолинейным.

В соответствии с принципом относительности Галилея, существует бесконечное множество равноправных инерциальных систем, движение которых одна относительно другой не может быть установлено никаким образом путём наблюдения любых процессов и явлений, происходящих только в этих системах. Прямая траектория движения объекта в одной системе будет выглядеть также прямой в любой другой инерциальной системе.

Если же в некоторой системе отсчёта свободное тело двигается по криволинейной траектории и/или с переменной скоростью, то такая система является неинерциальной.

Движение под действием внешних сил в инерциальной системе отсчёта

Если в заведомо инерциальной системе скорость \vec{v} движения объекта с массой m меняется по направлению, даже оставаясь прежней по величине, то есть тело производит поворот и движется по дуге с радиусом кривизны R, то объект испытывает нормальное ускорение an. Причиной, вызывающей это ускорение, является сила, прямо пропорциональная этому ускорению. В этом состоит суть Второго закона Ньютона:

\vec F = m \vec a_n (1)

Где  \vec F есть векторная сумма сил, действующих на тело,  \vec a_n его ускорение, а m — инерционная масса.[3]

В общем случае тело не бывает свободно в своём движении, и на его положение, а в некоторых случаях и на скорость, налагаются ограничения — связи. Если связи накладывают ограничения только на координаты тела, то такие связи называются геометрическими. Если же они распространяются и на скорости, то они называются кинематическими. Если уравнение связи может быть проинтегрировано во времени, то такая связь называется голономной.

Действие связей на систему движущихся тел описывается силами, называемыми реакциями связей. В таком случае сила, входящая в левую часть уравнения (1), есть векторная сумма активных (внешних) сил и реакции связей.

Существенно, что в случае голономных связей становится возможным описать движение механических систем в обобщённых координатах, входящих в уравнения Лагранжа. Число этих уравнений зависит лишь от числа степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему тел, положение которых необходимо определять для полного описания движения.

Если же связи, действующие в системе идеальны, то есть в них не происходит переход энергии движения в другие виды энергии, то при решении уравнений Лагранжа автоматически исключаются все неизвестные реакции связей.

Наконец, если действующие силы принадлежат к классу потенциальных, то при соответствующем обобщении понятий становится возможным использования уравнений Лагранжа не только в механике, но и других областях физики.[4]

Действующие на материальную точку силы в этом понимании однозначно определяют форму траектории её движения (при известных начальных условиях). Обратное утверждение в общем случае не справедливо, поскольку одна и та же траектория может иметь место при различных комбинациях активных сил и реакций связи.

Движение под действием внешних сил в неинерциальной системе отсчёта

Если система отсчёта неинерциальна (то есть движется с неким ускорением относительно инерциальной системы отсчёта), то в ней также возможно использование выражения (1), однако в левой части необходимо учесть так называемые силы инерции (в том числе, центробежную силу и силу Кориолиса, связанные с вращением неинерциальной системы отсчёта)[3].

Иллюстрация

Траектории одного и того же движения в разных системах отсчёта.Вверху в инерциальной системе дырявое ведро с краской несут по прямой над поворачиваемой сценой. Внизу в неинерциальной (след от краски для стоящего на сцене наблюдателя)

Как пример, рассмотрим работника театра, передвигающегося в колосниковом пространстве над сценой по отношению к зданию театра равномерно и прямолинейно и несущего над вращающейся сценой дырявое ведро с краской. Он будет оставлять на ней след от падающей краски в форме раскручивающейся спирали (если движется от центра вращения сцены) и закручивающейся — в противоположном случае. В это время его коллега, отвечающий за чистоту вращающейся сцены и на ней находящийся, будет поэтому вынужден нести под первым недырявое ведро, постоянно находясь под первым. И его движение по отношению к зданию также будет равномерным и прямолинейным, хотя по отношению к сцене, которая является неинерциальной системой, его движение будет искривлённым и неравномерным . Более того, для того, чтобы противодействовать сносу в направлении вращения, он должен мышечным усилием преодолевать действие силы Кориолиса, которое не испытывает его верхний коллега над сценой, хотя траектории обоих в инерциальной системе здания театра будут представлять прямые линии.

Но можно себе представить, что задачей рассматривающихся здесь коллег является именно нанесение прямой линии на вращающейся сцене. В этом случае нижний должен потребовать от верхнего движения по кривой, являющейся зеркальным отражением следа от ранее пролитой краски. Следовательно, прямолинейное движение в неинерциальной системе отсчёта не будет являться таковым для наблюдателя в инерциальной системе.

Более того, равномерное движение тела в одной системе, может быть неравномерным в другой. Так, две капли краски, упавшие в разные моменты времени из дырявого ведра, как в собственной системе отсчёта, так и в системе неподвижного по отношению к зданию нижнего коллеги (на уже прекратившей вращение сцене), будут двигаться по прямой (к центру Земли). Различие будет заключаться в том, что для нижнего наблюдателя это движение будет ускоренным, а для верхнего его коллеги, если он, оступившись, будет падать, двигаясь вместе с любой из капель, расстояние между каплями будет увеличиваться пропорционально первой степени времени, то есть взаимное движение капель и их наблюдателя в его ускоренной системе координат будет равномерным со скоростью v, определяемой задержкой Δt между моментами падения капель:

v = gΔt.

Где g — ускорение свободного падения.

Поэтому форма траектории и скорость движения по ней тела, рассматриваемая в некоторой системе отсчёта, о которой заранее ничего не известно, не даёт однозначного представления о силах, действующих на тело. Решить вопрос о том, является ли эта система в достаточной степени инерциальной, можно лишь на основе анализа причин возникновения действующих сил.

Таким образом, в неинерциальной системе:

  • Кривизна траектории и/или непостоянство скорости являются недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело действуют внешние силы, которые в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями.
  • Прямолинейность траектории является недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело не действуют никакие силы.

Примечания

  1. Понятие траектории достаточно наглядно может быть проиллюстрировано трассой бобслея. (Если по условиям задачи можно пренебречь её шириной). И именно трассой, а не самим бобом.
  2. Так улица, в начале которой висит знак «кирпич» останется в принципе траекторией движения по ней. А поезда разной массы, движущиеся под различными тяговыми усилиями на сцепных крюках локомотивов и потому с разной скоростью, будут двигаться по одной и той же траектории, определяемой формой рельсового пути, налагающего на движение несвободного тела (поезда) конкретные связи, интенсивность которых будет в каждом случае различной
  3. 1 2 С. Э. Хайкин. Силы инерции и невесомость. М.,1967 г. Издательство «Наука».Главная редакция физико-математической литературы.
  4. Физический энциклопедический словарь/ Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред.кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич,А. С. Боровик-Романов и др. М.: Сов.энциклопедия, 1983. — 323 с.,ил, 2 л.цв.ил. страница 282.

Литература

  • Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. и прим. А. Н. Крылова. М.: Наука, 1989
  • Фриш С. А. и Тиморева А. В. Курс общей физики, Учебник для физико-математических и физико-технических факультетов государственных университетов, Том I. М.: ГИТТЛ, 1957

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Траектория материальной точки" в других словарях:

  • Траектория (значения) — Траектория: Траектория случайного процесса. Траектория материальной точки. Траектория кривая той или иной формы, характеризующая движение метательного снаряда. «Траектория краба»  роман Гюнтера Грасса …   Википедия

  • ТРАЕКТОРИЯ — (от позднелат. trajectorius относящийся к перемещению), непрерывная линия, к рую описывает точка при своём движении. Если Т. прямая линия, движение точки наз. прямолинейным, в противном случае криволинейным. Вид Т. свободной материальной точки… …   Физическая энциклопедия

  • Траектория (физич., математич.) — Траектория (от позднелат. trajectorius относящийся к перемещению), непрерывная линия, которую описывает точка при своём движении. Если Т. прямая линия, движение точки называется прямолинейным, в противном случае криволинейным. Вид Т. свободной… …   Большая советская энциклопедия

  • Траектория — Рис.1 Траектории трёх объектов (угол запуска  70°, Distance  расстояние, Height  высота), разное лобовое сопротивление Запрос «Траектория» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Траектория материальной точки   линия …   Википедия

  • Траектория — I Траектория (от позднелат. trajectorius относящийся к перемещению)         непрерывная линия, которую описывает точка при своём движении. Если Т. прямая линия, движение точки называется прямолинейным, в противном случае криволинейным. Вид Т.… …   Большая советская энциклопедия

  • ТРАЕКТОРИЯ — (Trajectory) путь движения точки или тела, напр. траектория полета снаряда. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 Траектория непрерывная линия, описываемая в пространстве движуще …   Морской словарь

  • ТРАЕКТОРИЯ — (от ср. век. лат. trajectorius относящийся к перемещению) линия, описываемая материальной точкой при её движении относительно выбранной системы отсчёта. Форма Т. существ. образом зависит от выбора системы отсчёта. В зависимости от формы Т.… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Кинематика точки —   раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение. Движение любого… …   Википедия

  • Классическая теория тяготения Ньютона — (Закон всеобщего тяготения Ньютона) закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики. Этот закон был открыт Ньютоном в 1666 году. Он гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками… …   Википедия

  • Список эпизодов сериала «4исла» — «4исла» (англ. Numb3rs)  детективный телевизионный сериал, созданный Николасом Фалаччи и Шерил Хьютон. Премьера телесериала состоялась 23 января 2005 года, 18 мая 2010 года CBS закрыл сериал …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.