Гипотеза Бибербаха

Гипотеза Бибербаха — доказанное предположение, высказанное в 1916 году немецким учёным Л. Бибербахом относительно верхней границы коэффициентов разложения однолистных функций в ряд Тейлора.

Обозначим $\Delta$ — открытый единичный круг комплексной плоскости: $\Delta=\{z:|z|<1\}$.

$S$ — множество всех аналитических и однолистных в $\Delta$ функций $f(z)$, имеющих разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля вида:

$f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty}c_nz^n.$

По гипотезе коэффициенты $|c_n|\leqslant n$, причём $c_n=n$ только для функций Кёбе вида

$k_\theta(z)=\frac{z}{(1-ze^{i\theta})^2}.$

История доказательства гипотезы

• 1916 год — высказана гипотеза. Бибербахом доказана справедливость гипотезы при $n=2$.
• 1923 год — доказана гипотеза для $n = 3$. Автор доказательства — К. Лёвнер, для доказательства был создан параметрический метод Лёвнера.
• 1955 год — доказательство для $n = 4$. Авторы — Гарабедян, Шиффер. Метод, использованный при доказательстве, был назван методом Шиффера.
• 1968, 1969 годы — две независимые работы с доказательством гипотезы для $n=6$ — Педерсон, Одзава.
• 1972 год — доказана гипотеза для $n=5$ — Педерсон, Шиффер.

---

• 1925 год — Литтльвуз доказывает, что $|c_n|\leqslant e\cdot n$ для любого $n$.
• 1951 год — Базилевич, Милин: доказано соотношение $|c_n|\leqslant e/2\cdot n+\mathrm{const}$.
• 1965 год — Милин: $|c_n|\leqslant 1{,}243\cdot n$.
• 1972 год — Фитцжеральд: $|c_n|\leqslant\sqrt{7/6}n$.
• 1984 год — доказательство верности гипотезы Бибербаха, автор — Луи де Бранж.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011.