СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ


СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
- уравнения, описывающие поведениереализации случайных процессов, волн и полей под действием случайныхсил и флуктуирующих параметров, при случайных начальных или граничных условиях. <Анализ С. у. состоит в определении статистич. характеристик их решений, <напр. матем. ожидания, корреляц. ф-ции, плотности вероятности.

Первоначально С. у. были предложены П. Ланжевеном (P. Langevin) дляописания броуновского движения (см. Ланжевена уравнение). С. у. <используют при изучении флуктуации в радиотехн. устройствах и квантовыхгенераторах, при анализе вибраций, в теории связи и адаптивного управления, <при исследовании распространения волн в случайно-неоднородных средах ит. д. Случайные процессы обычно описывают системой обыкновенных дифференц. <С. у.
8072-4.jpg

где 8072-5.jpg- детерминиров. ф-ции,8072-6.jpg- матрица случайных сил с известными статистич. характеристиками.

Методы анализа С. у. разбивают на 2 группы. Методы 1-й группы состоятв точном или приближённом решении дифференц. ур-ний и последующем вычислениистатистич. характеристик найденных решений. В методах 2-й группы от С. <у. переходят к ур-ниям для статистич. характеристик решений, а затем решаютполученные детерминиров. ур-ния.

В методах 2-й группы возникает проблема замыкания ур-ний и расщеплениякорреляций. Напр., перейдём от С. у.
8072-7.jpg

к ур-нию для среднего 8072-8.jpg (угл. скобки означают статистич. усреднение):
8072-9.jpg

Это ур-ние может оказаться не замкнутым относительно 8072-10.jpgпо двум причинам: 1) если а(х) - нелинейная ф-ция, среднее 8072-11.jpgне выражается через 8072-12.jpg;2) среднее 8072-13.jpgопределяется совм. статистич. свойствами x(t8072-14.jpg. При расщеплении средних типа 8072-15.jpgприменяют теорию возмущений по малому параметру 8072-16.jpg,где - время корреляции 8072-17.jpg- характерный масштаб 8072-18.jpgx(t). Если x(t) - решение С. у. (1), а 8072-19.jpg- гауссов белый шум с корреляц. ф-цией, пропорциональной 8072-20.jpg -функции,
8072-21.jpg

т. е.8072-22.jpg= 0, то справедлива точная ф-ла расщепления
8072-23.jpg

В этом случае ур-ние (2) принимает вид:
8072-24.jpg

В случае линейных С. у. подобное расщепление приводит к замкнутым ур-ниямдля моментов. Напр., если в С. у. (1) а = ах, b = bх. тоур-ние (3) замыкается:
8072-25.jpg

Если С. у. нелинейно, то моменты его решения удовлетворяют бесконечнойцепочке зацепляющихся ур-ний, при обрывании к-рой используют дополнит. <приближения.

Для исследования статистич. свойств нелинейных С. у. типа (1) удобенаппарат марковских случайных процессов. Так, если 8072-26.jpg- гауссов белый шум, то решение С. у. представляет собой непрерывный марковский(диффузионный) процесс, плотность вероятности переходов к-рого удовлетворяет Фоккера - Планка уравнению. Плотность вероятности переходов дляскачкообразных марковских процессов удовлетворяет интегродифференциальному Колмогорова- Феллера уравнению. Можно аппроксимировать случайныевоздействия марковскими процессами, напр. считать, что

в С. у. (1)8072-27.jpg- случайный процесс, удовлетворяющий С. у.:
8072-28.jpg

где 8072-29.jpg- гауссов белый шум. При этом совокупность 8072-30.jpgобразует двумерный марковский процесс, совместная плотность вероятностипереходов к-рого удовлетворяет двумерному ур-нию Фоккера - Планка.

Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, напр. <в турбулентной атмосфере, ионосфере, межзвёздной плазме и т. д., описываетсяС. у. с частными производными. Примером служит Гельмгольца уравнение для стохастич. Грина функции:
8072-31.jpg

где 8072-32.jpg- случайное поле неоднородностей среды, k - волновое число. Мн. <методы исследования с помощью (4) статистики случайных волн опираютсяна анализ рядов теории возмущений по е:
8072-33.jpg

где G0 - невозмущённая ф-ция Грина. Если рассеяние волнына случайных неоднородностях среды невелико, то пользуются борновским приближением(приближением однократного рассеяния), удерживая в правой части (5) лишьдва первых слагаемых. Если рассеяние существенно многократное, то при расчётестатистич. характеристик волны и выводе приближённых замкнутых ур-ний дляср. поля 8072-34.jpg, ф-ции когерентности и т. д. производят селективное суммирование рядатеории возмущений, используя Фейнмана диаграммы.

При анализе распространения и рассеяния волн в случайно-неоднородныхсредах применяют и методы, основанные на переходе от исходных С. у. к болеепростым. Сюда относятся, в частности, геометрической оптики метод, параболическогоуравнения приближение, плавных возмущений метод, приближение случайногофазового экрана, переход к ур-нию переноса излучения.

Лит.: Введение в статистическую радиофизику, ч. 1 - Рытов С М.,Случайные процессы, М., 1976; ч. 2 - Рытов С. М., К р а в ц о в Ю. А.,Т а т а р с к и и В. И., Случайные поля, М., 1978; Справочник по теориивероятностей и математической статистике, 2 изд., М., 1985; К л я ц к ин В. И., Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах, <М., 1980. А. Н. Малахов, А. И. Саичев.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ" в других словарях:

  • Стохастические дифференциальные уравнения — …   Википедия

  • ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИБЛИЖЕНИЕ — в статистической теории распространения волн приближённый метод описаниямногократного рассеяния волн с учётом дифракц. эффектов в средах с крупномасштабными(по сравнению с длиной волны )неоднородностями показателя преломления. В П. у. п. не… …   Физическая энциклопедия

  • Дифференциальные уравнения — Дифференциальное уравнение  в математике это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи… …   Википедия

  • РАССЕЯНИЕ ВОЛН — возмущения волновых полей, вызываемые неоднородностями среды и помещёнными в эту среду рассеивающими объектами. Допустимо различать три осн. вида рассеяния. 1. Р. в. на одиночных объектах в однородной среде. Это могут быть одиночные частицы… …   Физическая энциклопедия

  • ПРИБЛИЖЕНИЕ — приближённый метод решения дифференц. ур ний, содержащих случайные параметры; основан на малости отношения времени корреляции воздействий ко времени корреляции отклика Формально соответствует пределу Непосредственно применим лишь к причинным… …   Физическая энциклопедия

  • СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ — случайная ф ция носк. непрерывных переменных (параметров) ,т. е. такая ф ция, реализации к рой подчиняются вероятностным законам …   Физическая энциклопедия

  • Теория поля — многозначный термин: Физика: Классическая теория поля понятие, объединяющее классическую электродинамику (теорию электромагнитного поля), теорию гравитационного поля, теорию классических калибровочных и спинорных полей. Квантовая теория поля.… …   Википедия

  • Математическая модель — Математическая модель  это математическое представление реальности[1]. Математическое моделирование  это процесс построения и изучения математических моделей. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат,… …   Википедия

  • Математическое моделирование — Математическая модель это математическое представление реальности[1]. Математическое моделирование процесс построения и изучения математических моделей. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути… …   Википедия

  • Финансовая математика — Финансовая математика  раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами. В финансовой математике любой финансовый инструмент рассматривается с точки зрения генерируемого этим… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.