ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ

ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ
ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ

- ур-ние для ф-ции распределения плотности вероятности частиц в фазовом пространстве - основное ур-ние статистич. физики. Ур-ние для статистич. оператора ( матрицы плотности )в квантовой статистич. механике также наз. Л. у., но иногда уравнением фон Неймана.

Инвариантность фазового объёма при движении фазовых точек, изображающих системы в фазовом пространстве ( Лиувилля теорема), позволяет ввести ф-цию их распределения f(p, q), так что 2552-84.jpg=f( р, q)dpdq- вероятность найти фазовые точки р,q = (p1,..., pN, q1, ..., qN )в элементе фазового объёма dpdq. При движении системы фазовых точек их число сохраняется, поэтому при переходе из элемента фазового объёма dpdq в 2552-85.jpg выполняется равенство f(p,q)dpdq=2552-86.jpg откуда следует, что f (р,q) = т. е. ф-ция распределения постоянна вдоль 2552-87.jpg фазовых траекторий системы. В результате полная производная ф-ции распределения по времени равна нулю:

2552-88.jpg

>ткуда с учётом ур-ний Гамильтона

2552-89.jpg

следует Л. у.:

2552-90.jpg

где (H, f) - Пуассона скобка, Н - ф-ция Гамильтона.

Из постоянства ф-ции распределения f вдоль фазовых траекторий можно сделать важный для статистич. физики вывод, что f в случае статистич. равновесия зависит лишь от интегралов движения системы.

В квантовой статистич. механике система описывается статистич. оператором (матрицей плотности) р, к-рый удовлетворяет квантовому Л. у.:

2552-91.jpg

где квадратная скобка обозначает коммутатор операторов H и о. т. е.2552-92.jpg =2552-93.jpg H - оператор Гамильтона, 2552-94.jpg- квантовая скобка Пуассона,2552-95.jpg- постоянная планка. Ур-ние (2) является квантовым аналогом классич. Л. у. (1). Стационарным равновесным решением Л. у. является произвольная ф-ция от H, вид к-рой определяется типом статистического ансамбля Гиббса. Неравновесные ф-ции распределения статистич. систем находятся как решения Л. у., зависящие от параметров, к-рые описывают неравновесное состояние.

Лит. см. при ст. Статистическая физика. Д. Н. Зубарев.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ — уравнение движения для функции распределения wN(p, q; t).по импульсам и координатам N частичной классич. системы где H гамильтониан системы, а фигурными скобками обозначены классич. скобки Пуассона. Если в фазовом пространстве ( р,… …   Математическая энциклопедия

  • ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ — обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка вида рассматриваемое на конечном или бесконечном интервале ( а, b)изменения переменном х, где р(х), l (х), r (х) заданные коэффициенты, комплексный параметр, a у искомое решение. Если р(x),r… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА — теорема механики, утверждающая, что фазовый объём системы, подчиняющейся ур ниям механики в форме Гамильтона (см. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ), остаётся постоянным при движении системы. Теорема установлена франц. учёным Ж. Лиувиллем (J.… …   Физическая энциклопедия

  • Уравнение Фоккера — Планка — Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера  Планка. Уравнение Фоккера  Планка  одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и… …   Википедия

  • Уравнение Лиувилля — В математической физике, теорема Лиувилля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в статистической и гамильтоновой механике. Она гласит, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна… …   Википедия

  • Уравнение движения — (уравнения движения)  уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или сходной динамической системы (например, поля) во времени[1]. Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями движения и… …   Википедия

  • Уравнение фон Неймана —     Квантовая механика …   Википедия

  • Уравнение Фоккера — Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера  Планка. Уравнение Фоккера  Планка  одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и… …   Википедия

  • ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА — 1) Л. т. об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция f(z) комплексных переменных z=(z1 . . ., zn) ограничена, т. е. то f(z) есть константа. Это предложение, одно из основных в теории аналитич. функций, впервые, по видимому,… …   Математическая энциклопедия

  • Уравнение Боголюбова — Цепочка уравнений Боголюбова (цепочка ББГКИ, ББГКИ иерархия, цепочка уравнений Боголюбова  Борна  Грина  Кирквуда  Ивона)  система уравнений эволюции системы, состоящей из большого числа тождественных взаимодействующих частиц, заключенных в… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»