ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА

- 1) Л. т. об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция f(z) комплексных переменных z=(z₁ . . ., z_n) ограничена, т. е.

то f(z) есть константа. Это предложение, одно из основных в теории аналитич. функций, впервые, по-видимому, опубликовано в 1844 О. Коши [1] для случая n=1; Ж. Лиувилль (J. Liouville) излагал его на лекциях в 1847, откуда и произошло название.

Л. т. допускает обобщения в различных направлениях. Напр., если f(z) - целая функция в и для нек-рого целого то f(z) есть многочлен по переменным (z₁ . . ., z_n) степени не выше те. Далее, если и(х) - действительная гармонич. функция во всем числовом пространстве причем

то и(х). есть гармонич. многочлен по переменным (x₁ . . ., x_n) степени не выше т(см. также [4]).

2) Л. т. о конформных отображениях: всякое конформное отображение области евклидова пространства Е ⁿ при можно представить в виде конечного числа суперпозиций простейших отображений четырех видов - переноса, подобия, ортогонального преобразования и инверсии. Доказана Ж. Лиувиллем в 1850 (см. [2] добавление 6).

Эта Л. т. выявляет бедность класса конформных отображений в пространстве, и с этой точки зрения она весьма важна в теории аналитич. функций многих комплексных переменных и в теории квазиконформных отображений.

Лит.:[1] Gauchy А., "С. r. Acad. sci.", 1844, t. 19, p. 1377-84; [2] M о n g e G., Application de 1'analyse a la geometrie, 5 ed., P., 1850, p. 609-16; [3] Б и ц а д з е А. В., Основы теории аналитических функции комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; [4] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964.

Е. Д. Соламепцев.

3) Л. т. о приближении алгебраических чисел - теорема, устанавливающая, что алгебраич. иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. Именно, если a - алгебраич. число степени а ри q>0 - любые целые рациональные числа, то имеет место неравенство

где С - положительная константа, зависящая только от a и выражаемая в явном виде через сопряженные с a величины.

С помощью этой теоремы Ж. Лиувилль [1] впервые построил неалгебраические (трансцендентные) числа. Таким числом является, напр., число

представляемое рядом с быстро убывающими членами. При n=2 Л. т. дает неулучшаемый результат. Для Л. т. неоднократно усиливалась. В 1909 А. Туэ [2] установил, что для алгебраич. чисел a степени

и справедливо неравенство

К. Зигель [3] улучшил результат А. Туэ, показав, что неравенство (*) выполняется при (s - целое)

в частности при Позже Ф. Дайсон [4] доказал справедливость неравенства (*) при Наконец, К. Рот [5] установил, что неравенство (*) справедливо при любом v>2. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, т. к. любое иррациональное число алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений p/q, удовлетворяющих неравенству

Все указанные выше усиления Л. т. имеют один существенный недостаток - они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная в неравенстве (*) зависит от величин a и v. Получены (см. [6], [7], [8]) эффективные усиления Л. т., но лишь для значений показателя v, мало отличающихся от п.

Лит.:[1] Liouville J., "С. r. Acad. sci.", 1844, t. 18 p. 883-85, 910-11; [2] T h u e A., "J. reine und angew. Math." 1909, Bd 135, S. 284-305; [3] Siegel C., "Math. Z.", 1921 Bd 10, S: 173-213; [4] Dyson F. I., "Acta math.", 1947 t. 79, p. 225-40; [5] Roth K. F., "Mathematika", 1955, v. 2 p. 1-20; [6] Baker A., "Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A", 1968, v. 263, p. 173 - 91; [7] Спринджук В. Г. "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, с. 991 - 1007; [8] Фельдман Н. И., там же, с. 973-90. С. А. Степанов.

4) Л. т. о сохранении фазового объема: объем Vлюбой области G6N-мерного фазового пространства ( р, q).(пространства компонент импульсов и координат каждой из Nчастиц классич. системы с потенциальными силами взаимодействия) не изменяется с течением времени

если все точки этой области двигаются согласно уравнениям классич. Механики. Утверждение является следствием того, что якобиан перехода от переменных ( р, q).(в момент времени t).к переменным ( р', q').(в момент времени t'>t) согласно уравнениям движения (напр., в форме уравнений Гамильтона) равен единице. Величина Vявляется одним из интегральных инвариантов Пуанкаре, а Л. т.- одним из следствий их существования. Л. т. используется в статистич. механике классич. систем (см. Лиувилля уравнение). Л. т. доказана Ж. Лиувиллем (J.Liouville, 1851).

И. А. Квасников.