ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА ЛИНЕЙНАЯ

система вида

где Н -квадратичная форма с действительными коэффициентами от переменных с коэффициентами, к-рые могут зависеть от времени t. Г. с. л. наз. также линейной канонической системой. Система (1) может быть записана в векторной форме:

где х - вектор-столбец

- матрица квадратичной формы 2Н и ( - единичная -матрица). Уравнение (2) с произвольной неособой действительной кососимметрической матрицей J может быть сведено подходящей заменой вида , где - неособая действительная матрица, к аналогичному виду:

здесь - любая заранее заданная действительная неособая кососимметрическая матрица. Ниже предполагается, что в (2)

К канонич. уравнению (2) сводятся: векторное уравнение 2-го порядка

в к-ром у- вектор порядка - действительные -матрицы функции, ; уравнение

где - постоянная матрица, , , (матрицы - действительные), скалярное уравнение

где - действительные функции, и аналогичное векторное уравнение. [Для уравнения (3)

для уравнения (За)

для уравнения (4)

Скалярное уравнение (3) с т. е. уравнение в к-ром Р(t) - периодич. функция, наз. уравнением Хилла.

Пусть X(t) - матрицант уравнения (2) [матрица фундаментальной системы решений уравнения (2), нормированная условием ]. Введем индефинитное скалярное произведение , где - обычное скалярное произведение. Матрица U (вообще комплексная), унитарная в смысле этого произведения, т. е. такая, что , наз. J-унитарной; действительная J-унитарная матрица Xназ. симплектической.

Известно (см. Гамильтонова система), что при сдвиге вдоль траектории Г. с. сохраняется интегральный инвариант Пуанкаре - внешняя дифференциальная форма В случае Г. с. л. это свойство означает, что для любых решений уравнения (2) выполнено т. е. что матрицант X(t)-симплектическая матрица для любого t. Из соотношения следует (теорема Ляпунова-Пуанкаре), что собственные значения симплектической матрицы X(с учетом их кратностей и порядков жорда-новых ящиков) располагаются симметрично (в смысле инверсии) относительно единичной окружности. Собственные значения симплектических (и J-унитарных) матриц, равные по модулю 1, подразделяются на собственные значения 1-го и 2-го рода по следующему правилу. Пусть - собственное значение J-унитарной матрицы и . Тогда форма бx, xс на соответствующем корневом подпространстве не вырождается. Пусть р - число положительных и q - число отрицательных ее квадратов; говорят, что в точке совпало собственных значений 1-го рода и qсобственных значений 2-го рода.

Аналогично определяется род чисто мнимых собственных значений матриц (для них ). Для J-унитарной матрицы X собственные значения при считаются собственными значениями 1-го рода, если , и 2-г о рода, если . Любая симплектическая матрица Xимеет (с учетом кратности) ровно k собственных значений 1-го рода и k значений 2-го рода. При соответствующей нумерации r₁, . . ., r_k являются непрерывными функциями матрицы X(см. [2], [3]).

1. Осцилляторные свойства решений Г. с. л. К изучению осцилляторных свойств решений уравнений (2) -(4) приводит ряд задач вариационного исчисления, оптимального управления, исследование свойств спектра соответствующего дифференциального оператора и др.

Определения. (I) Уравнение (3) наз. колебательным, если для любого найдутся числа и решение такие, что , и неколебательным - в противном случае. (II) Уравнение (4) наз. колебательным, если для любого t₀>0 найдется решение имеющее по крайней мере два k-кратных нуля и неколебательным - в противном случае. (III) Уравнение (1) наз. колебательным, если на функция

является неограниченной, и неколебательны м в противном случае. [В(5) суть собственные значения 1-го рода матрицы X(t). После сведения уравнения (3) или (4) к уравнению (2) получающееся уравнение (2) будет колебательным в смысле определения (III) тогда и только тогда, когда уравнение (3) [соответственно (4)] колебательно в смысле определения (I) [соответственно (II)]. Определению (III) можно придать следующую геометрич. интерпретацию. Группа симплектических матриц Xгомеоморфна произведению связного и односвязного топологич. пространства на окружность. Соответствующее отображение можно выбрать так, что

является проекцией матрицы на окружность (числа - собственные значения 1-го рода матрицы X). Таким образом, уравнение (2) колебательно, если при матрица X(t).неограниченно "закручивается" в

Sp(k, R). (При n=1 эта группа гомеоморфна "сплошному тору" и "закручивание" имеет очевидный наглядный смысл.) Известны другие разнообразные определения аргумента симплектической матрицы, соответствующие другим отображениям группы на окружность и эквивалентные (5) в том смысле, что при любом из них выполнено неравенство:

для любой кривой Такими аргументами являются, напр.,

где суть -подматрицы матрицы (см. также [4]). Известны разнообразные эффективно проверяемые достаточные (а в нек-рых случаях необходимые и достаточные) условия колебательности и неколебательности уравнений (2), (3), (4) (см., напр., [5] и литературу в [6]).

2. Г. с. л. с периодическими коэффициентами. Пусть в (2) почти всюду. Матрица X(Т).наз. матрицей монодро-м и и уравнения (2), а ее собственные значения - мультипликаторами уравнения (2). Уравнение (2) (или соответствующий гамильтониан Н(t)).наз. сильно устойчивым, если все его решения ограничены на и это свойство не нарушается при малых деформациях гамильтониана в смысле нормы Аналогично определяется сильная неустойчивость уравнения (2) (гамильтониана ). Для сильной устойчивости уравнения (2) необходимо и достаточно чтобы все его мультипликаторы лежали на единичной окружности и среди них не было совпадающих разного рода (иначе, чтобы все корневые подпространства у X(Т).были дефинитны в смысле произведения ). Для сильной неустойчивости уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы нек-рые его мультипликаторы лежали вне единичной окружности. Два набора мультипликаторов (с учетом их рода), среди к-рых нет совпадающих разного рода, наз. эквивалентными, если один набор можно непрерывно перевести в другой без встречи мультипликаторов разного рода. Класс эквивалентных наборов мультипликаторов наз. мультипликаторным типом. В случае устойчивости имеется 2 ^k мультипликаторных типа. Их можно обозначить символами вида = (+, +, - , +,...,-), в к-рых полюсы и минусы соответствуют роду мультипликаторов, последовательно встречающихся при прохождении верхней полуокружности |р| = 1 от точки к точке . Пусть - множество всех гамильтонианов указанного выше вида с нормой Множество сильно устойчивых гамильтонианов распадается в Л на счетное число областей

Область является множеством всех гамильтонианов, к-рым отвечают мультипликаторный тип m, и целое число п, определяемое формулой

где - аргументы мультипликаторов 1-го рода (см. [41, [7]). Для множество сильно неустойчивых гамильтонианов распадается на счетное число областей; при это множество связно. Известны (см. [3], [7], [8]) разнообразные достаточные условия принадлежности . При получении этих условий лажную роль играет следующая теорема: пусть тогда из сильной устойчивости "отрезка"

следует сильная устойчивость любого гамильтониана Н(t).такого, что Аналогичная теорема установлена и для бесконечномерного случая , когда - гильбертово пространство и в (2) J, Н(t).суть операторы со специальными свойствами (см. [9]); при к=1 эта теорема верна и для сильно неустойчивых гамильтонианов [3].

3. Параметрический резонанс. Рассмотрим уравнение

с постоянным гамильтонианом Н ₀ таким, что все решения уравнения (8) ограничены. Частота q наз. критической, если для любого d>1 найдется "возмущенное" гамильтоново уравнение

где такое, что уравнение (9) имеет неограниченные решения (знак у может быть любым). Явление возникновения неограниченно нарастающих колебаний системы при сколь угодно малом периодическом возмущении нек-рых ее параметров наз. параметрическим резонансом. Параметрич. резонанс имеет большое значение в технике и физике. Он "опаснее" (или "полезнее", в зависимости от задачи) обычного резонанса, поскольку в отличие от последнего при нем колебания нарастают по экспоненциальному закону (а не степенному), и частоты, при к-рых имеет место резонанс, заполняют малые интервалы. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возбуждения, а сами интервалы стягиваются в точки (соответствующие критич. частотам), когда амплитуда возбуждения стремится к нулю. Пусть - собственные значения 1-го рода матрицы (тогда имеют 2-й род). Пусть Критич. частотами являются числа () и только они (см. [2]). Пусть в (9) - малый параметр;

Систему векторов f_j можно выбрать нормированной условием . На плоскости вблизи оси точки , для к-рых уравнение (9) с сильно неустойчиво, заполняют области примыкающие к точкам , где (имеется в виду "общий" случай, см. [3]). Числа , m₂ просто выражаются через и (см., напр., [3]).

Величина характеризует "степень опасности" критич. частоты : чем больше эта величина, тем шире "клинышек" неустойчивости, примыкающий к точке , и тем ближе к оси подходит внутри этого клинышка область - экспоненциального возрастания решения с малым (подробнее см. в [3]). Другие сведения имеются в [10], [12], [13].

Результаты, аналогичные перечисленным, имеются для уравнений (1) с комплексными коэффициентами (H(t).- эрмитова матрица функции, см., напр., [11]). В работе [14] рассмотрена более общая система

где

Выяснено, что как в комплексном, так и в действительном случаях имеется конечное число областей устойчивости, получены их характеристики в терминах свойств решений соответствующих уравнений.

Ряд аналогичных результатов получен также для операторных уравнений (2) в гильбертовом пространстве с ограниченными и неограниченными операторными коэффициентами (см. [15], [16]).

Лит.: [1] Ляпунов A.M., Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч., т. 2, 1956, с. 7-263; [2] Крейн М. Г., в сб.: Памяти А. А. Андронова, М., 1955, с. 413-98; [3] Якубович В. А., Старшинский В. М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения, М., 1972, гл. 3; [4] Гельфанд И. М., Лидский В. Б., "Успехи матем. наук", 1955, т. 10, № 1, с. 3-40; [5] Stеrnbеrg R. L., "Duke Math. J.", 1952, v. 19, № 2, p. 311-22; [6] Якубович В. А., "Матем. сб.", 1962, т. 56 (98), J* 1, с. 3-42; [7] Крейн М. Г., Якубович В. А., в кн.: Тр. Международного симпозиума по нелинейным колебаниям, т. 1, К., 1963, с. 277-305; [8] Лидский В. Б., "Докл. АН СССР". 1955, т. 102, Ли 5, с. 877-80; [9] Дергузов В. М., "Матем. сб.", 1964, т. 63 (105), № 4, с. 591-619; [10] Моsеr J., "Comm. Pure App]. Math.", 1958, v. 11, № 1, p. 81 - 114; [11] Соppe1 W. А., Ноwe A., "J. Austral. Math. Soc.", 1965. v. 5, № 2, p. 169-95; [12] Митропольский Ю. А., Метод усреднения в нелинейной механике, К., 1971: [13] Еругин Н. П., Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами, Минск, 1963; [14] Лидский в. Б., Фролов П. А., "Матем. сб.", 1966, т. 71 (113), № 1, с. 48-64; [15] Далецкий Ю. <Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970, гл. 5; [16] Фомин В. Н., Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах, Л., 1972. В. А. Якубович.