УСТОЙЧИВОСТИ ТЕОРИЯ

- совокупность взгля дов, представлений, идей, понятий, рассуждении, методов, теорий (содержащих определения, леммы, теоремы и доказательства), возникших и возникающих с целью изучения устойчивости движения (понимаемого в самом общем виде). Таким образом, У. т. является теорией в широком смысле этого слова, Среди различных понятий устойчивости движения наиболее известны следующие.
1. Понятия устойчивости, введенные А. М. Ляпуновым, и их модификации; устойчивость по Ляпунову (в частности, асимптотич. устойчивость и экспоненциальная устойчивость), условная устойчивость'^ частности, асимптотическая условная устойчивость и зкспоненциальная условная устойчивость), устойчивость по части переменных, равномерная устойчивость, устойчивость при постоянно действующих возмущениях, орбитальная устойчивость, наличие аттракторов (см. Предельный цикл, Лоренца аттрактор), стохастич. устойчивость, устойчивость абсолютная. См. также Устойчивости критерии, Устойчивости область.
2. Устойчивость по Лагранжу.
3. Устойчивость по Пуассону и связанные с ней понятия ( блуждающая точка, полная неустойчивость).
4. Структурная устойчивость ^: (см. Грубая система) - понятие, введенное А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным.
5. Сохранение большинства инвариантных торов интегрируемой гамильтоновой системы при малых возмущениях функции Гамильтона, открытое А. <Н. Колмогоровым (см. также Малые знаменатели).
В У. т. по Ляпунову (см. [1] т. 2, а также [2] - [4]) выделяют вопросы, связанные с первым методом Ляпунова. Сюда обычно относят теорию линейных систем дифференциальных уравнений (см. Уравнение в вариациях. Линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, Линейная система дифференциальных уравнении с почти периодическими коэффициентами. Правильная линейная система дифференциальных уравнений. Неправильности коэффициенты. Почти приводимая линейная система дифференциальных уравнений, Приводимая линейная система дифференциальных уравнений, Мультипликаторы, Гамильтонова система линейная )и имеющую большое пересечение с теорией линейных систем теорию Ляпунова характеристических показателей (см. также Особые показатели, Центральные показатели, Интегральной разделенности условие, Устойчивость характеристических показателей). По второму методу Ляпунова см. Ляпунова функция, а также [5] - [9].
В теории структурной устойчивости выделяют теорию систем Аносова (см. [10]), а также критерии структурной устойчивости (см. [11],[12]).
При исследовании устойчивости по Ляпунову в механике затрагивают вопросы: устойчивость фигур равновесия вращающейся жидкости (см. [1] тт. 3-4), других гравитирующих систем (см. [13]), устойчивость движения жидкости (см. [14], [15]), устойчивость движения деформируемого твердого тела (см. Устойчивость упругих систем, а также [16] - [19]), устойчивость движения тел с полостями, содержащими жидкость [20], устойчивость в системах автоматич. управления [21] , устойчивость решений уравнений с запаздыванием [22].

Лит.:[1] Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 1 - 5, М.[-Л.], 1954-65; [2] Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1954; [3] Демидович Б. П., Лекции по математической теории устойчивости, М., 1967; [4] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970; [5] Ла-Салль Ж., Лефшец С., Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, пер. с англ., М., 1964; [6] Зубов В. И., Методы А. М. Ляпунова и их применение, Д., 1957; [7] Румянцев В. В., в кн.: Механика в СССР за 50 лет, т. 1, М., 1968; [8] Валеев К. Г., Финин Г. С., Построение функций Ляпунова, К., 1981; [9] Шестаков А. А., лДифференц. уравнения