- ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ
гамильтониан,- функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834) для описания движений механических систем; начиная с работ К. Якоби (К. Jacobi, 1837), используется в классическом вариационном исчислении для представления Эйлера уравнений в канонической
форме. Пусть
- Лагранжа функция механич. системы или подннтегральная функция в задаче минимизации функционала
.
классического вариационного исчисления, где
. Г. ф. представляет собой Лежандра преобразование функции Lпо переменным
иначе говоря,
где
выражено через рсоотношением
скалярное произведение векторов
и х. С помощью Г. ф. уравнения Эйлера
(в задачах классич. механики называемые Лагранжа уравнениями).записываются в виде системы уравнений 1-го порядка:
Эти уравнения наз. Гамильтона уравнениями, гамиль-тоновой системой, а также канонической системой. Через Г. ф. пишутся уравнения Гамильтона-Якоби для функции действия (см. Гамильтона - Якоби теория).
Т. ф. в задаче оптимального управления определяется следующим образом. Пусть требуется найти минимум функционала
при дифференциальных связях
при заданных граничных условиях и ограничении на управление
. Здесь
есть n-мерный вектор фазовых координат,
- m-мерный вектор управления, U - замкнутое множество допустимых значений управления и. Г. <ф. в этой задаче имеет вид
где
- сопряженные переменные (множители Лагранжа, импульсы), аналогичные введенным выше канонич. переменным
. Если
есть минимум в поставленной задаче и
(тогда
можно
считать равным -1), то
где
Полученное для Г. ф. выражение имеет ту же структуру, что и в классическом вариационном исчислении. Согласно Понтрягина принципу максимума уравнения Эйлера для задачи оптимального управления с помощью Г. ф. можно записать в виде
Оптимальное управление ипри каждом tдолжно доставлять максимум Г. ф.:
Лит.:[1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950: [2] Понтрягин Л. С. [и др.]. Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.
И. Б. Вапнярский.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.