ВЫБОРОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

функция аргумента t, однозначно соответствующая каждому наблюдению случайного процесса ; здесь - множество элементарных событий. Часто Д используются эквивалентные В. ф. термины "реализация", "траектория". Случайный процесс характери-- зустся вероятностной мерой в пространстве В. ф. При изучении локальных свойств В. ф. (где ,- евклидово пространство размерности m=1, 2, ...) предполагается, что является сепарабельным или находится эквивалентный случайный процесс с заданными локальными свойствами В. ф. Наиболее полно исследованы локальные свойства В. ф. гауссовских процессов.

Для стационарных гауссовских случайных процессов (полей) имеет место альтернатива: почти все В. ф. либо непрерывны, либо неограничены на любом интервале. Для определено "расстояние"

"сфера", ) - минимальное число таких "сфер", покрывающих

.

Необходимое и достаточное условие непрерывности В. ф. однородного гауссовского процесса имеет вид

Если

выпукла вниз в нек-рой окрестности точки , то для непрерывности В. ф. необходимо и достаточно, чтобы

Если выпукла вниз в окрестности +0 и

для , то почти все В. ф. гауссовского случайного процесса неогранпчены. Если

то почти все В. ф. гауссовского случайного процесса (поля) непрерывны. Для непрерывности В. ф. гауссовского случайного процесса достаточно, чтобы

где

здесь sup берется по . В. ф. , относят к классу , если для всех достаточно малых

Если - гауссовское случайное поле на единичном кубе такое, что для достаточно малых

то с вероятностью, равной 1, равномерно по

для люб. <ого и

Неубывающая непрерывная функция наз. верхней, если для почти всех существует такое, что

при

Если - гауссовское случайное поле,

то является верхней тогда и только тогда, когда

где

Для того чтобы почти все В. ф. гауссовского случайного процесса были аналитическими в окрестности точки t₀, необходимо и достаточно, чтобы ковариационная функция была аналитической по tи s в окрестности .

Лит.:[1] Дуб Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [2] Крамер Г., Лидбеттер М., Стационарные случайные процессы, пер. с англ., М., 1069; [3] Беляев Ю. К., в кн.: Proceeding of the 4 Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, v. 2, Berk.-Los Ang., 1961, p. 23-33; [4] Островский Е. И,. "Докл. АН СССР", 1970, т. 195, .М 1, с. 40 - 42; [5] Nisiо Мakikо, "Nogoya Math. J.", 1969, v. 34, p. 89-104; [6] Dudley R. M., "Ann. Math. Statistics", 1965, v. 36, №3, p. 771-88; [7] Fernique X., "С. г. Acad. sci.", 1964, t. 258, p. 6058-60; [8] Ядренко М. И., "Вiсник Киiвського ун-ту. Сер. матем. та механ.", 1967, т. 9, с. 103-12; [9] Кawada Takayuki, "Nagoya Math. J.", 1969, v. 35, p. 109-32; [10] Беляев Ю. К., "Теория вероят. и ее примен.", 1959, т. 4, № 4, с. 437-44; [11] Слуцкий E. E., "Giorn. lust. Ital. Attuari", 1937, v. 8, № 2, p. 3 - 19; [12] Fernique Х.,в кн.: Ecole d'Ete de Probabilites de Saint-Flour IV-1974, В.-Hdlb.- N. Y., 1975, p. 1-96 ("Lecture Notes in Mathematics", M 480). Ю. К. Беляев.