ВЕКТОРНОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РАССЛОЕНИЕ

локально тривиальное аналитич. расслоение над аналитич. ространством, слои к-рого обладают структурой n-мерного векторного пространства над основным полем k(если - иоле комплексных чисел, то аналитич. расслоение наз. также голоморфны м). Число пназ. рангом, или размерностью, расслоения. Так же, как в топологич. случае (см. Векторное расслоение), определяются категория векторных аналитич. расслоений, понятия подрасслое-ния, факторрасслоения, прямой суммы, тензорного произведения, внешней степени В. а. р. и т. д.

Аналитич. сечения В. а. р. с базой; Xобразуют модуль над алгеброй аналитич. функций на базе. В случае, когда и компактно, - конечномерное векторное пространство над (см. Конечности теоремы). Если же X - конечномерное комплексное пространство Штейна, то - проективный модуль конечного типа над , причем соответствие определяет эквивалентность категории В. а. р. над Xи категории проективных модулей конечного типа [4].

Примерами В. а. р. являются касательное расслоение на аналитич. многообразии X(его аналитич. сечения - аналнтич. векторные поля на X), нормальное расслоение на подмногообразии .

Классификация В. а. р. ранга пна заданном аналитич. ространстве Xравносильна классификации главных аналитических расслоений с базой X и структурной группой и при проведена полностью только в некоторых специальных случаях. Для проективных комплексных алгебраич. многообразий Xона совпадает с классификацией алгебраич. векторных расслоений (см. Сравнения теоремы в алгебраической геометрии).

В. а. р. ранга 1 на комплексном пространстве X(иначе, расслоения на комплексные прямые или линейные расслоения) играют важную роль в комплексной аналитич. еометрии. Каждый дивизор на пространстве Xестественным образом определяет аналптич. расслоение ранга 1, причем два дивизора определяют изоморфные расслоения тогда и только тогда, когда они линейно эквивалентны. На проективном алгебраич. многообразии всякое линейное аналитич. расслоение определяется дивизором. Вложимость комплексного пространства Х в проективное пространство тесно связана с существованием на Xобильных линейных расслоений (см. Обильное векторное расслоение). Если на комплексном пространстве Xзадана дискретная группа Г его автоморфизмов, то каждый фактор автоморфности группы Г определяет линейное расслоение над , аналитич. сечения к-рого суть соответствующие авто-морфные формы. В. а. р. ранга 1 составляют группу - пучок обратимых элементов структурного пучка. Сопоставление каждому расслоению его 1-го класса Чжэня дает гомоморфизм

ядро к-рого есть множество топологически тривиальных линейных расслоений. В случае, когда X - комплексное многообразие, можно описать как множество классов когомологий, нредставимых замкнутыми дифференциальными формами типа (1,1). Если Х, кроме того, компактно и кэлерово, то изоморфно Пикара многообразию многообразия Xи тем самым является комплексным тором [2].

Каждому В. а. р. Vранга п на аналитич. ространстве Xсоответствует пучок ростков аналитич. сечений расслоения V, к-рый является локально свободным аналитическим пучком ранга пна X. Это соответствие определяет эквивалентность между категориями В. <а. <р. и локально свободных аналитич. учков на X. Попытка обобщить этот результат на произвольные когерентные аналитич. учки привела к следующему обобщению понятия В. а. р. [3]. Сюръективный морфизм : наз. аналитическим семейством векторных пространств над Х (или линейным пространством над Х), если его слои обладают структурой конечномерных векторных пространств над k, причем операции сложения, умножения на скаляр и пулевое сечение удовлетворяют естественным требованиям аналитичности. Если (или и Х когерентно), то аналнтич. семейство векторных пространств : определяет когерентный аналитич. учок Fна X:для группа есть пространство аналнтич. функций на , линейных на слоях. Тем самым определяется двойственность между категориями аналитич. семейств векторных пространств и когерентных аналитич. учков на А.

Лит.: [1] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [2] Чжэнь Щэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [3] Fiвсhеr G., "Arch. Math.", 1967, Bd 18, s. 609-17; [4] Fоrstеr О., Rаrаspоll K. J., там же, 1968, Bd 19, s. 417-22. А. <Л. <Онищик.