ЭРМИТОВА МЕТРИКА

ЭРМИТОВА МЕТРИКА

- 1) Э. м. в комплексном векторном пространстве V - положительно определенная эрмитова форма в V. Пространство V, снабженное Э. м., наз. унитарным (или комплексно евклидовым, или эрмитовым векторным) пространством, а Э. м. в нем - эрмитовым скалярным произведением. Любые две Э. м. в Vпереводятся друг в друга автоморфизмом пространства V. Таким образом, множество всех Э. м. в Vявляется однородным пространством группы и отождествляется где n=dim V.
Комплексное векторное пространство . можно рассматривать как вещественное векторное пространство снабженное оператором комплексной структуры J(x) = ix. Если h - Э. м. в V, то форма g=Re hявляется евклидовой метрикой (скалярным произведением) в V, а форма - невырожденной кососимметрической билинейной формой в V. При этом Любая из форм однозначно определяет h.
2) Э. м. в комплексном векторном расслоении - функция на базе М, сопоставляющая точке эрмитову метрику gp в слое расслоения и удовлетворяющая следующему условию гладкости: для любых гладких локальных сечений е, е' расслоения функция является гладкой.
В любом комплексном векторном расслоении существует Э. м. Связность в комплексном векторном расслоении наз. согласованной с Э. м. g, если gи оператор Jкомплексной структуры в слоях расслоения ковариантно постоянны (т. е. иначе говоря, если соответствующий параллельный перенос слоев расслоения вдоль кривых на базе является изоморфизмом слоев как унитарных пространств. Для любой Э. м. существует согласованная с ной связность, к-рая, вообще говоря, не единственна. В случае, когда есть голоморфное векторное расслоение над комплексным многообразием . (см. Векторное аналитическое расслоение), существует единственная связность расслоения согласованная с данной Э. м. и удовлетворяющая следующему условию: ковариантная производная любого голоморфного сечения ерасслоения относительно любого антиголоморфного комплексного векторного ноля на Мравна нулю (каноническая эрмитова связность). Форму кривизны этой связности можно рассматривать как 2-форму типа (1,1) на Мсо значением в расслоении эндоморфизмов векторного расслоения Канонич. связность можно рассматривать также как связность в главном -расслоении ассоциированном с голоморфным расслоением комплексной размерности п. Она характеризуется как единственная связность в горизонтальные подпространства к-рой являются комплексными подпространствами касательных пространств комплексного многообразия Р.

Лит.:[1] Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1981; [2] Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960; [3] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 197В; [4] Вейль А., Введение в теорию кэлеровых многообразий, пер. с франц., М., 1961.
Д. В. Алексеевский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ЭРМИТОВА МЕТРИКА" в других словарях:

  • ЭРМИТОВА СТРУКТУРА — на многообразии М пара (J, g), состоящая из комплексной структуры . многообразия Ми эрмитовой метрики gв касательном расслоении ТМ, т. е. римановой метрики g, инвариантной относительно J: g(JX, JY) =g(X, Y) для любых векторных полей X, Y на М. Э …   Математическая энциклопедия

  • ФУБИНИ - ШТУДИ МЕТРИКА — эрмитова метрика на комплексном проективном пространстве определяемая эрмитовым скалярным произведением ( и, v )в пространстве Была введена почти одновременно Г. Фубини [1] и Э. Штуди [2]. Ф. Ш. м. задается формулой где |x|3 = (x,х); расстояние… …   Математическая энциклопедия

  • КЭЛЕРА МЕТРИКА — кэлерова метрика, эрмитова метрика на комплексном многообразии, фундаментальная форма со к рой замкнута, т. е. удовлетворяет условию П р и м е р ы К. м.: эрмитова метрика в пространстве Фубини Штуди метрика в комплексном проективном пространстве… …   Математическая энциклопедия

  • Кэлерова метрика — Кэлерова метрика  эрмитова метрика на комплексном многообразии, фундаментальная форма которой замкнута. Эрмитова метрика на комплексном многообразии является кэлеровой тогда и только тогда, когда параллельный перенос вдоль любой кривой… …   Википедия

  • ИНДЕФИНИТНАЯ МЕТРИКА — (от лат. indefinitus неопределённый) обобщение скалярного произведения, когда на него не накладывается условие положит. определённости. В конечномерном векторном пространстве индефинитное скалярное произведение в координатной записи даётся ф лой… …   Физическая энциклопедия

  • Кэлерово многообразие — Кэлерова метрика, эрмитова метрика на комплексном многообразии, фундаментальная форма ω которой замкнута. Эрмитова метрика h на комплексном многообразии является кэлеровой тогда и только тогда, когда параллельный перенос вдоль любой кривой… …   Википедия

  • ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ — обобщение понятия дивизора положительной степени на римановой поверхности. Голоморфное векторное расслоение Енад комплексным пространством Xназ. положительным (обозначается E>0), если в Есуществует такая эрмитова метрика h, что функция на… …   Математическая энциклопедия

  • СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА — замкнутая невырожденная дифференциальнаяформа степени 2. Многообразие, снабжённое С. с., наз. симплектическиммногообразием. В каждом касательном пространстве С. с. задаёт кососкалярноепроизведение (см. в ст. Симплектическая группа). Кососкалярное …   Физическая энциклопедия

  • ПСЕВДОВЫПУКЛОСТЬ И ПСЕВДОВОГНУТОСТЬ — свойства областей в комплексных пространствах, а также комплексных пространств и функций на них, аналогичные свойствам выпуклости и вогнутости областей и функций в пространстве . Вещественная функция j класса С 2 на открытом множестве наз. р… …   Математическая энциклопедия

  • ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФОРМА — внешняя дифференциальная форма на римановом многообразии М, удовлетворяющая уравнению , где Лапласа оператор, соответствующий римановой метрике на М, а оператор, сопряженный к внешнему дифференциалу d. Если имеет компактный носитель, то… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»