ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ ВАРИАЦИЯ

метод решения линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных систем (или уравнений). Этот метод позволяет записать в замкнутой форме общее решение неоднородной системы, если известно общее решение соответствующей однородной системы. Идея метода П. п. в. состоит в том, что произвольные постоянные, входящие в общее решение однородной системы, заменяются функциями независимой переменной, к-рые подбираются так, чтобы удовлетворить неоднородной системе. В конкретных задачах этот метод применялся еще Л. Эйлером (L. Euler) и Д. Бернулли (D. Bernoulli), но его полная разработка принадлежит Ж. Лагранжу [1].

Пусть рассматривается задача Коши для линейной неоднородной системы

(1) где

- суммируемые на каждом конечном отрезке отображения, . Если Ф(t) - фундаментальная матрица решений однородной системы

(2)

то ,- общее решение этой системы. П. п. в. представляет собой замену переменных в системе (1):

и приводит кформуле Коши для решения задачи (1):

к-рую наз. иногда формулой вариации (произвольных) постоянных (см. также Линейное дифференциальное уравнение обыкновенное).

Идею П. п. в. иногда удается использовать в более общей нелинейной ситуации для описания связи решений возмущенной полной системы и решений невозмущенной укороченной системы (см. [3], [4]). Напр., для решения х(t).задачи

(где А, f - непрерывные отображения и где обеспечивается условие единственности решения) справедлива формула П. п. в., являющаяся интегральным уравнением:

здесь Ф(t) - фундаментальная матрица решений системы (2).

Лит.:[1] Lagrangе J., (Euvres, t. IV, P., 1869, p. 151 - 251; [2] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 5 изд., М., 1983; [3] Алексеев В. М., "Вести.

Моск. ун-та", 1961, № 2, с. 28-36; [4] Рейзинь Л. Э., Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений, Рига, 1971. Н. X. Розов.