ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР

-линейный дифференциальный или псевдодифференциальный оператор с обратимым главным символом (см. Символ оператора).
Пусть А- дифференциальный или псевдодифференциальный оператор (вообще говоря, матричный) на области с главным символом Если А- оператор порядка т, то -матричная функция на положительно однородная порядка тпо переменному Тогда эллиптичность означает, что -обратимая матрица при всех Это понятие эллиптичности наз. эллиптичностью по Петровскому.
Другой вид эллиптичности, эллиптичность по Дуглису - Ниренбергу, предполагает, что А- матричный оператор, где -оператор порядка sj - ti,(s1,..., sd) и (t1,..., td) - нек-рые наборы действительных чисел. Тогда можно образовать матрицу главных символов где функция положительно однородна по порядка sj-ti. Тогда эллиптичность по Дуглису - Ниренбергу означает, что матрица обратима при всех
Эллиптичность оператора Ана многообразии означает эллиптичность операторов, к-рые получаются из него при его записи в локальных координатах. Равносильным образом эту эллиптичность можно описать как обратимость главного символа к-рый является функцией на где Т*Х - кокасательное расслоение к - то же расслоение без нулевого сечения. Если оператор Адействует в сечениях векторных расслоений то эллиптичность оператора означает обратимость линейного оператора для любой точки (здесь Е х, Fx- слои расслоений Еи . в точке x). Примером Э. о. является Лапласа оператор.
Эллиптичность оператора равносильна отсутствию у него действительных характеристич. направлений. Эллиптичность можно также понимать микролокально. А именно, эллиптичность оператора Ав точке означает обратимость матрицы (линейного отображения)
Эллиптичность псевдодифференциального оператора на многообразии с краем (напр., оператора из алгебры Бутеде Монвеля [10], [11]) в граничной точке означает обратимость нек-рого модельного оператора граничной задачи на полуоси. Этот модельный оператор получается из исходного выпрямлением границы, замораживанием коэффициентов главных частей оператора и граничных условий в рассматриваемой точке и взятием преобразования Фурье по касательным направлениям (от с последующим фиксированием ненулевого вектора к-рый можно рассматривать как кокаса тельный вектор к границе. В случае дифференциального оператора и дифференциальных граничных условий описанное условие эллиптичности может быть записано в алгебраич. терминах. В этом случае (а также иногда и в общем случае) это условие часто наз. условием Шапиро - Лопатинского, или условием коэрцитивности.
Наиболее характерными свойствами Э. о. являются: 1) свойства регулярности решений соответствующих уравнений; 2) точные априорные оценки; 3) фредгольмовость Э. о. на компактных многообразиях.
Ниже, для простоты, коэффициенты и символы всех операторов считаются бесконечногладкими.
Пусть дано уравнение Au=f, где А - Э. <о. Простейшее свойство регулярности таково: если то Это свойство верно для любых дифференциальных Э. о. с гладкими коэффициентами или псевдодифференциальных Э. о. (с гладкими символами). Оно верно и для Э. о. краевой задачи (т. е. верно вплоть до границы при выполнении условия Шапиро - Лопатинского). Уточнением этого свойства является его микролокальный вариант: если оператор Аэллиптичен в точке (здесь x0- внутренняя точка X)и то где WF означает фронт волновой (распределения или функции). Другое уточнение: если А- Э. о. порядка ти то где - Соболева пространство, Если А - дифференциальный Э. о. с аналитич. оэффициентами, то из аналитичности f вытекает аналитичность и(в случае уравнений с постоянными коэффициентами это свойство необходимо и достаточно для эллиптичности). Соответствующий микролокальный вариант также справедлив и формулируется на языке аналитических волновых фронтов.
Локальная априорная оценка для Э. о. . порядка тимеет вид

где и - две области в причем - компакт, принадлежащий Au=f в постоянная Сне зависит от и(но может зависеть от
Глобальная априорная оценка для Э. о. . порядка тна компактном многообразии Xбез края имеет тот же вид, что и (1), но с заменой и на X. В случае многообразия с краем вместо норм пространств в (1) нужно взять нормы, учитывающие структуру вектор-функций ии f (содержащих, вообще говоря, граничные компоненты). Напр., пусть на компактном многообразии X с краем Yзадан Э. о. вида где А -- эллиптический дифференциальный оператор порядка т, В j - дифференциальные операторы порядков mj, причем mj<m и выполнено условие Шапиро - Лопатинского (для оператора Аи системы граничных операторов B1, . . ., В r). Тогда априорная оценка в пространствах Соболева имеет вид

где - норма в пространстве - норма в пространстве и постоянная С>0 не зависит от и(но может зависеть от A, Bj, s, X, Y и выбора норм в пространствах Соболева).
Э. о. на компактном многообразии (возможно, с краем) определяет фредгольмов оператор в соответствующих соболевских пространствах, а также в пространствах бесконечно дифференцируемых функций. Его индекс зависит лишь от главного символа и не меняется при непрерывных деформациях главного символа. Это позволяет поставить вопрос о вычислении индекса (см. Индекса формулы).
Важную роль играют Э. о. с параметром (см. [12]). При выполнении условия эллиптичности с параметром на компактном многообразии при больших по модулю значениях параметра рассматриваемый Э. о. оказывается обратимым, причем в глобальной априорной оценке типа (1) можно опустить последний член (младшую норму и в правой части).

Лит.:[1] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [2] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М., 1973; [4] Лионс Ж. Л., Мадженес Э., Неоднородные граничные задачи и их приложения, пер. с франц., М., 1971; [5] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [6] Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л., Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях, пер. с англ., М., 1962; [7] Хермандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965; [8] Шубин М. А., Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, М., 1978; [9] Палей Р., Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе, пер. с англ., М., 1970; [10] Rempel S., Schulze В. W., Index theory of elliptic boundary problems, В., 1982; [11] Boutet de Monvel L., лActa main..


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР" в других словарях:

  • Эллиптический оператор — дифференциальный оператор 2 го порядка в частных производных. Имеет вид , где функции классов соответствующей гладкости. При определённом выборе граничных условий является эрмитовым (самосопряжённым). Зачастую записывается в форме . В этом виде у …   Википедия

  • ТРАНСВЕРСАЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР — дифференциальный или псевдодифференциальный оператор, перестановочный с действием нек рой группы Ли на многообразии, где задан оператор, и эллиптический по направлению нормалей к орбитам этой группы. Если оператор действует на сечениях векторных… …   Математическая энциклопедия

  • Гипоэллиптический оператор — дифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу во всех точках пространства, за исключением начала координат. Содержание 1 Определение 2 Свойства …   Википедия

  • ИНДЕКСА ФОРМУЛЫ — соотношения между аналитич. и топологич. инвариантами операторов нек рого класса. Именно, И. ф. устанавливают связь между аналитич. индексом линейного оператора (L0, L1 топологич. векторные пространства), определяемым формулой и измеряющим таким… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И СИСТЕМА — дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида где L линейный эллиптич. оператор Оператор (1) с действительными коэффициентами эллиптичен в точке х, если характеристич. форма является определенной в этой точке. Здесь… …   Математическая энциклопедия

  • Параболическое уравнение — Параболические уравнения  класс дифференциальных уравнений в частных производных. Описывают нестационарные процессы. В общем виде могут быть записаны как , где   неизвестная функция,   эллиптический оператор, а   известная… …   Википедия

  • Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. В общем виде могут быть записаны как , где неизвестная функция, эллиптический оператор, а известная функция пространственных координат. Обычно на эллиптический оператор накладывается… …   Википедия

  • Параболические уравнения — Параболические уравнения  класс дифференциальных уравнений в частных производных. Описывают нестационарные процессы. В общем виде могут быть записаны как , где u  неизвестная функция, A  эллиптический оператор, а f  известная функция… …   Википедия

  • Эллиптическое уравнение — Эллиптические уравнения класс дифференциальных уравнений в частных производных. В общем виде могут быть записаны как Au = f, где u неизвестная функция, A эллиптический оператор, а f известная функция пространственных координат. Обычно на… …   Википедия

  • Теория Фредгольма — В математике, теория Фредгольма  это теория интегральных уравнений. В узком смысле, теория Фредгольма имеет отношение к решению интегрального уравнения Фредгольма. В широком смысле, абстрактная структура теории Фредгольма описывается в… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»