- Гипоэллиптический оператор
-
Гипоэллиптический оператор — дифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу
во всех точках пространства, за исключением начала координат.
Содержание
Определение
Пусть
— вещественный полином от переменных
где
и
.
Определим соответствующий дифференциальный оператор:
где
Обобщенная функция
называется фундаментальным решением дифференциального оператора
, если она является решением уравнения
где
— дельта-функция Дирака. Оператор
называется гипоэллиптическим, если
принадлежит классу
при всех
.
Свойства
Следующий критерий гипоэллиптичности части используется в качестве определения гипоэллиптического оператора:
Теорема 1. Оператор
является гипоэллиптическим, если и только если для любой открытой области
всякое решение
(обобщенная функция) уравнения
с любой правой частью
также принадлежит классу
Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером:Теорема 2. Оператор
является гипоэллиптическим, если и только если
для всех
где
— мнимая единица.
Примеры
- Любой эллиптический оператор является гипоэллиптическим, например, оператор Лапласа.
- Оператор теплопроводности является гипоэллиптическим, но не эллиптическим.
- Оператор Д’Аламбера не является гипоэллиптическим.
Литература
- Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, — М.: Мир, 1986—1988.
- Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике, — М.: Наука, 1979.
- Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории, — Дифференциальные уравнения с частными производными — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 30, ВИНИТИ, М., 1988, 5—255.
На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.Категории:- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Дифференциальные операторы
Wikimedia Foundation. 2010.