ЭЛЕМЕНТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
- ЭЛЕМЕНТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
- совокупность (D, f) области Dна плоскости комплексного переменного
и аналитич. ции f(z), заданной в Dпри помощи нек-рого аналитич. аппарата, позволяющего эффективно осуществить аналитич. родолжение f(z) во всю ее область существования как полной аналитической функции. Наиболее простой и чаще всего применяемой формой Э. а. ф. является круговой элемент в виде совокупности степенного ряда
и его круга сходимости 
с центром а(центр элемента) и радиусом сходимости R>0. Аналитич. продолжение здесь достигается (быть может, многократным) переразложением ряда (1) для различных центров 
по формулам вида
Любой из элементов (D, f) полной аналитич. ции определяет ее однозначно и может быть представлен посредством круговых элементов с центрами 
В случае бесконечно удаленного центра 
круговой элемент принимает вид 
с областью сходимости 
В процессе аналитич. родолжения функция f(z) может оказаться многозначной и могут появиться соответствующие алгебраическим точкам ветвления т. н. разветвленные элементы вида
где v>l, число v-1 наз. порядком разветвленности. Разветвленные элементы обобщают понятие Э. а, ф., последние в этой связи наа. также неразветвленными (при v=l) регулярными 
элементами.
В качестве простейшего элемента (D, f )аналитич. функции f(z) многих комплексных переменных 
|
можно принять совокупность кратного степенного ряда
где a=(al,. . ., а n) - центр, 
и нек-рого поликруга
в к-ром ряд (2) абсолютно сходится. Однако, при п> 1 следует иметь в виду, что поликруг не является точной областью абсолютной сходимости степенного ряди.
Понятие Э. а. ф. весьма близко к понятию ростка аналитич. функции.
Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68; [2] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964.
E. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "ЭЛЕМЕНТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ" в других словарях:
Аналитические функции — функции, которые могут быть представлены степенными рядами (См. Степенной ряд). Исключительная важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно широк; он охватывает большинство функций, встречающихся в… … Большая советская энциклопедия
АЛГЕБРА ФУНКЦИИ — полупростая коммутативная банахова алгебра А , реализованная в виде алгебры непрерывных функций на пространстве максимальных идеалов. Если и f нек рая функция, определенная на спектре элемента а(т. е. на множестве значений функции есть нек рая… … Математическая энциклопедия
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ — функции доопределение функции f0, определенной на нек ром подмножестве Екомплексного многообразия М, до функции f, голоморфной в нек рой области , содержащей Е, такое, что сужение функции f на Есовпадает с . Отправным в теории А. п. является… … Математическая энциклопедия
Аналитическое продолжение — В комплексном анализе аналитическим продолжением функции , определённой на множестве , называется аналитическая функция, которая: определена на более широком множестве , содержащем ; в области совпадает с исходной функцией . Автором данного… … Википедия
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия
ПОЛНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — совокупность всех элементов аналитич. ции, получающихся при всевозможных аналитических продолжениях исходной аналитич. ции f=f(z) комплексного переменного z, заданной первоначально в нек рой области Dрасширенной комплексной плоскости Пара (D, f) … Математическая энциклопедия
ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… … Математическая энциклопедия
ИЗОЛИРОВАННАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА — для элемента аналитической функции f(z) точка акомплексной плоскости z, относительно к рой выполняются условия: 1) этот элемент функции f(z)не допускает аналитического продолжения по какому либо пути в точку я; 2) существует такое число R>0,… … Математическая энциклопедия
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОЧКА ВЕТВЛЕНИЯ — а л гебраическая особая точка, изолированная точка ветвления аконечного порядка аналитич. функции обладающая тем свойством, что для любого элемента аналитич. родолжения этой функции, регулярного в области, имеющей точку а граничной точкой,… … Математическая энциклопедия
ВЕТВЛЕНИЯ ТОЧКА — особая точка многозначного характера, изолированная особая точка а аналитич. функции одного комплексного переменного такая, что аналитическое продолжение к. л. элемента функции вдоль замкнутого пути, охватывающего а, приводит к новым элементам .… … Математическая энциклопедия
