- АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
функции- доопределение функции f0, определенной на нек-ром подмножестве Екомплексного многообразия М, до функции f, голоморфной в нек-рой области
, содержащей Е, такое, что сужение
функции f на Есовпадает с
. Отправным в теории А. п. является понятие (аналитического) элемента, т. е. пары
, где
- область на Ми f - голоморфная в Dфункция. Говорят, что элементы
составляют непосредственное А. п. друг друга через связную компоненту
множества
если
Элемент
, по определению, аналитически продолжается в граничную точку
если существует непосредственное_А. п.
элемента
через
такое, что
Максимальным (в М).А. п.
наз. элемент (D,/), аналитически продолжающий
в область
но не продолжаемый аналитически ни в одну граничную точку D. Максимальное А. п.
в Мединственно, но не всегда существует. Для устранения этого недостатка вводятся области наложения над М(римановы поверхности в случае
), к-рые строятся из элементов, аналитически продолжающих
Элемент
наз. А. п. элемента
, если существует конечный набор элементов
и связных компонент А,- соответственно в
таких, что
являются непосредственными А. п. друг друга через Д,-. Говорят, что голоморфная функция
, определенная первоначально в области
, аналитически продолжается в точку
, если существует А. п.
элемента
такое, что
. Среди элементов, продолжающих
в точку z, вводится отношение эквивалентности:
, если
в окрестности z. На Множестве классов эквивалентности
(для всех возможных z) естественно вводится топология и комплексная структура области наложения над М. Функция
естественно поднимается в
(значение на классе эквивалентности в z, содержащем
, полагаем равным
), аналитически продолжается на всю D f и в определенном смысле не продолжается ни в одну граничную точку
над
.
В случае, когда
есть комплексная плоскость
или, более общо, комплексное пространство
,
, этот процесс А. п. описывается проще. Каноническим элементом наз. пара
, где
- степенной ряд с центром в точке ас непустой областью сходимости Da. Канонич. элемент
вдоль пути
если существует семейство канонич. элементов
, с центрами
таких, что
и для каждого
элементы
являются непосредственными А. п.
для всех t, достаточно близких к
. Семейство
на самом деле определяется однозначно. Если
,
, есть непрерывное семейство путей в
с общими концами аи b и если
аналитически продолжается вдоль каждого
, то результат
не зависит от
(монодромии теорема). Точками
в случае
являются канонич. элементы
получаемые посредством А. п. вдоль всевозможных путей в
;
поднимается в
аналитически на всю до голоморфной функции
, причем
есть область
голоморфности
.
Описанный общий процесс А. п. практически малоэффективен, поэтому в анализе используется много специальных методов А. п. Сюда относятся различные аиалитич. представления: интегралы, зависящие от параметра [интеграл типа Коши (см. Коши интеграл), Лапласа интеграл, интеграл Бореля (см. Бореля преобразование).и др.], замена переменного в степенном ряде, специальные способы суммирования степенных рядов [разложение Бореля в ряд многочленов, сходящийся в максимальном полигоне (см. Бореля метод суммирования), ряд Миттаг-Леффлера, сходящийся в максимальной звезде (см. Звезда элемента функции, Миттаг-Леффлера метод суммирования).и др.], принцип симметрии Римана - Шварца (см. Римана- Шварца принцип), функциональные и дифференциальные уравнения, определяющие функцию (напр., уравнение
для гамма-функции, условия периодичности, четности, симметрии и т. п.), аналитич. выражения через известные функции.
К теме А. п. относятся также исследования о связи между исходным элементом аналитич. функции (рядом Тейлора) и свойствами полной аналитической функции, порождаемой этим элементом (см. [1]); результаты об особых точках (критерии особых точек, Адамара теорема мультипликационная, Фабри теорема об отношении) и особых линиях (теоремы о лакунах и непродолжаемости за границу круга сходимости, напр. Адамара теорема о лакунах, Фабри теорема о лакунах и др.), теоремы о сверхсходимости и о связях А. п. степенного ряда со свойствами целой функции, определяющей его коэффициенты, вопросы мероморфного продолжения, мероморфное продолжение при помощи Паде аппроксимаций и др. К А. п. следует отнести и теоремы об устранении особенностей (устранение изолированной особенности ограниченной голоморфной функции, устранение спрямляемых разрезов при условии непрерывности и т. п.), а также большой класс теорем об одновременном продолжении голоморфных функций многих комплексных переменных. В
при
имеются области, из к-рых любая голоморфная функция продолжается в более широкую область (в одномерном случае такого явления нет). Поэтому важной задачей А. п. функций многих комплексных переменных является описание этих более широких областей - так наз. голоморфных расширений, напр, известны описания голоморфности оболочек для Гартогса областей, л-круговых и трубчатых областей, теоремы об устранении компактных особенностей и особенностей коразмерности
Боголюбова теорема"острие клина" н теорема В. С. Владимирова о С-выпуклой оболочке (см. [3]). Известно несколько эффективных методов построения голоморфного расширения областей (см. [3]).
А. п. функций действительного переменного сводится к А. п. голоморфных функций, т. к. для любой области
и любой функции
, аналитической в
, найдутся область
и голоморфная в
функция
такие, что
Лит.:[1] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [3] Владимиров В С Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.