ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИОНАЛ

- аналог понятия характеристической функции, используемый в бесконечномерном случае. Пусть -непустое множество, Г - векторное пространство определенных на действительных функций, -наименьшая -алгебра подмножеств относительно к-рой измеримы все функции из Г. X. ф. вероятностной меры заданной на определяется как комплекснозначный функционал на Г равенством

Ниже имеется в виду наиболее важный и простой случай, когда есть сепарабельное действительное банахово пространство и Г совпадает с его топологическим сопряженным В этом случае совпадает с -алгеброй борелевских множеств пространства Понятие X. ф. для бесконечномерных банаховых пространств ввел А. Н. Колмогоров [1].
X. ф. случайного элемента Xсо значениями в по определению, есть X. ф. его вероятностного распределения
Основные свойства Х. <ф.:
1) и положительно определен, т. е. для любых конечных наборов комплексных чисел и элементов
2) непрерывен в сильной топологии и секвенциально непрерывен в *-слабой топологии пространства

4) в частности принимает только действительные значения (и является четным функционалом) в том н только в том случае, когда мера симметрична, т. е. где
5) Х. <ф. однозначно определяет меру;
6) X. ф. свертки двух вероятностных мер (суммы двух независимых случайных величин) есть произведение их X. ф.

В конечномерном случае метод X. ф. основан на теореме о непрерывности соответствия между мерами и их X. ф., и на теореме об описании класса X. ф. В бесконечномерном случае прямые аналоги этих теорем не имеют места. Если последовательность вероятностных мер слабо сходится к то поточечно сходится к и эта сходимость равномерна на ограниченных множествах из если Кесть слабо относительно компактное семейство вероятностных мep в то семейство равностепенно непрерывно в сильной топологии пространства Обратные утверждения верны только в конечномерном случае. Однако условия сходимости и слабой относительной компактности семейств вероятностных мер можно выразить в терминах X. ф. (см. [2]). В отличие от конечномерного случая, не всякий положительно определенный нормированный (равный в нуле единице) непрерывный функционал является X. ф.- непрерывности в метрич. топологии не хватает. Топология в наз. достаточной, соответственно необходимой, если в этой топологии непрерывность положительно определенного нормированного функционала достаточна, соответственно необходима, для того чтобы он был X. ф. нек-рой вероятностной меры в Необходимая и достаточная топология наз. S-топологией. Пространство наз. S- пространством, если в существует S-топология. Гильбертово пространство является S-пространством (см. [3]).
Наиболее важный класс X. ф.- характеристич. функционалы гауссовских мер. Мора m в наз. центрированной гауссовской, если для всех

где R - ограниченный линейный положительный оператор из в -ковариационный оператор меры к-рый определяется соотношением

(см. [4]). В отличие от конечномерного случая, не всякий функционал вида (*) является X. ф.- нужны дополнительные ограничения на R, зависящие от пространства Напр., если то дополнительным (необходимым и достаточным) условием является условие где матрица оператора Rв естественном базисе (см. [5]). В частности, в гильбертовом пространстве дополнительным условием является ядерность оператора R.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., лС. r. Acad. sci.