СОХОЦКОГО ФОРМУЛЫ

СОХОЦКОГО ФОРМУЛЫ

- формулы, найденные впервые Ю. В. Сохоцким [1] и выражающие граничные значения интеграла типа Коши. С более полными доказательствами, но значительно позже С. ф. были получены независимо Й. Племелем [2].
Пусть Г : t=t(s), t(0)=t(l), - замкнутая гладкая жордаиова кривая на плоскости комплексного неременного - заданная на Г комплексная плотность интеграла типа Коши, относительно к-рой предполагается, что она удовлетворяет условию Гёльдера

D+ - область внутри Г , D -- внешняя область;

- интеграл типа Коши. Тогда для любой точки существуют пределы

к-рые выражаются формулами Сохоцкого

или, иначе,

Интеграл вдоль Г в правых частях С. ф. понимается в смысле главного значения по Коши и наз. сингулярным интегралом. Таким образом, принимая при высказанных условиях Ф+(t)(или Ф -(t)) в качестве значений интеграла Ф(z) на Г , получают функцию Ф(z), непрерывную в замкнутой области (соответственно в в целом Ф(z) иногда описывают как кусочно аналитич. цию.
Если то Ф +(t)и Ф -(t) также непрерывны по Гёльдеру на Г с тем же показателем а если то с любым показателем Для угловых точек t0 (см. рис.) кусочно гладкой кривой Г С. ф. принимают вид

В случае разомкнутой кусочно гладкой кривой Г С. ф. (2) и (3) остаются в силе для внутренних точек дуги Г.
С. ф. играют основную роль при решении граничных задач теории функций и сингулярных интегральных уравнений (см. [3], [5]), а также при решении различных прикладных задач теории функций (см. [4]).

Естественно возникает вопрос о возможном расширении условий на контур Г и плотность с тем, чтобы С. ф., хотя бы с нек-рыми оговорками, сохраняли силу. Наиболее значительные результаты в этом направлении принадлежат В. В. Голубеву и И. И. Привалову (см. [6], [8]). Напр., пусть Г - спрямляемая жорданова кривая, а плотность по-прежнему непрерывна по Гёльдеру на Г. Тогда С. ф. (2) имеют место почти всюду на Г, причем под Ф +(t0) и Ф -(t0) понимаются угловые граничные значения интеграла типа Коши соответственно изнутри и извне Г, но функции Ф +(z) и Ф - (z), вообще говоря, уже не непрерывны в замкнутых областях О пространственных аналогах С. ф. см. в [7].

Лит.:[1] Сохоцкий Ю. В., Об определенных интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды, СПБ, 1873; [2] Р1еmе1j J., лMonatsh. Math, und Phys.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "СОХОЦКОГО ФОРМУЛЫ" в других словарях:

  • ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМА — 1) П. т. о сопряженных функциях: пусть периодическая непрерывная функция с периодом 2p и тригонометрически сопряженная функция с f(t); тогда если f(t).удовлетворяет условию Липшица о показателем при 0<a<1 и имеет модуль непрерывности, не… …   Математическая энциклопедия

  • КОШИ ИНТЕГРАЛ — 1) К. и. определенный интеграл от непрерывной функции одного действительного переменного. Пусть функция f(x).непрерывна на отрезке наз. определенным интегралом по К о ш и от функции f(x) на отрезке [ а, b]и обозначают К. и. частный случай Римана… …   Математическая энциклопедия

  • СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее искомую функцию под знаком несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши. В зависимости от размерности многообразия, по к рому распространены интегралы, различают одномерные и многомерные С. и. у. По сравнению… …   Математическая энциклопедия

  • БОХНЕРА - МАРТИНЕЛЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ, — Мартинелли Бохнера представление, Мартинелли Бохнера формула, интегральное представление голоморфных функций, определяемое следующим образом (см. [1], [2]). Пусть функция голоморфна в области с кусочно гладкой границей и непрерывна в ее замыкании …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»