БОХНЕРА - МАРТИНЕЛЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ,

Мартинелли - Бохнера представление, Мартинелли- Бохнера формула, - интегральное представление голоморфных функций, определяемое следующим образом (см. [1], [2]). Пусть функция голоморфна в области с кусочно гладкой границей и непрерывна в ее замыкании . Тогда выражение

где означает, что член следует опустить, наз. Б. -М. п. При n=1 Б.-М. п. совпадает с интегральной формулой Коши (см. Коши интеграл), однако при его ядро не является голоморфным по z, и этим объясняется ограниченность применения В. -М. п. в теории функций многих комплексных переменных. Ядром Б.-М. п. является дифференциальная форма по z бисте-пени ( п, п-1):

определенная в , с особенностью в точке , (т. е. ) вне особенности. При n>1 форма равна где

- форма бистепени , коэффициент к-рой является фундаментальным решением уравнения Лапласа; здесь

Следующее интегральное представление, обобщающее формулу (*), является аналогом формулы Коши -Грина (см. Коши интеграл):. если функция f непрерывно дифференцируема в замыкании области D МCⁿ с кусочно гладкой границей дD, то для всякой точки zОD

Функция

где Г - гладкая гиперповерхность в и f - функция на Г, интегрируемая по мере Лебега, наз. интегралом типа Бохнера - Мартинелли. Как и для интегралов типа Коши, для интегралов типа Бохнера - Мартинелли справедлива формула Сохоцкого при обычных ограничениях на Г и f. Интеграл типа Бохнера - Мартинелли является комплексной функцией, гармонической всюду вне Г; в общем случае эта функция голоморфна лишь при п=1.

Если , то при условие вне эквивалентно голоморфности в .

Б.-М. п. используется для вывода других интегральных представлений (напр., Бергмана - Вейля представления), для голоморфного продолжения с границы, а также в теории граничных значений голоморфных функций нескольких комплексных переменных. Б.- М. п. получено С. Бохнером и Э. Мартинелли (см. [1], [2]).

Лит.:[1] Восhner S., "Ann. Math.", 1943, v. 44, №4, p. 652-673; [2] Martinelli E., "Rend. Accad. Italia", 1938, v. 9, p. 269-83; [3] Владимиров B.C., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964.

Е. М. Чирка.