СОПРЯЖЕННЫЙ ФУНКТОР

СОПРЯЖЕННЫЙ ФУНКТОР

понятие, выражающее универсальность и естественность многих важных математич. конструкций: свободных универсальных алгебр, различных пополнений, прямых и обратных пределов и т. д.
Пусть - одноместный ковариантный функтор из категории в категорию Функтор Fиндуцирует функтор

где - категория, двойственная категории - категория множеств, - основной теоретико-множественный функтор. Функтор HF контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. Аналогично, любой ковариантный функтор индуцирует функтор

также контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Функторы Fи Gсопряжены, или образуют сопряженную пару, если функторы Н F и Н G изоморфны, т. е. существует естественное преобразование к-рое устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами морфизмов и для любых объектов и Преобразование наз. сопряжением F с G; функтор Fназ. левым сопряженным к функтору G, a G - правым сопряженным к F (что обозначается или просто Преобразование наз. косопряжением.
Пусть Для любых объектов и пусть

Семейства морфизмов и определяют естественные преобразования и к-рые наз. соответственно единицей и коединицей сопряжения Для преобразований и справедливы следующие равенства:

Вообще, пара естественных преобразований и состоит из единицы и коединицы нек-рого сопряжения, когда выполнены равенства

для любых объектов Х и Y. Естественное преобразование является единицей нек-рого сопряжения тогда и только тогда, когда для любого морфизма из категории существует такой единственный морфизм в категории что Последнее свойство выражает тот факт, что объект F(X)свободен над Xотносительно функтора G в смысле следующего определения. Объект вместе с морфизмом свободен над объектом если всякий морфизм однозначно представим п виде для нек-рого морфизма Функтор тогда и только тогда обладает левым С. ф., когда для каждого существует объект Y, свободный над Xотносительно G. Примеры С. ф.
1) Если где - категория множеств, то G обладает левым С. ф. тогда и только тогда, когда он представим. Представимый функтор обладает левым С. ф. тогда и только тогда, когда в имеются любые копроизведения где и А x для всех
2) В категории множеств для любого множества Аосновной функтор HA(Y) = H(A, Y) сопряжен слева функтору
3) В категории абелевых групп функтор Hоm (A, Y )сопряжен слева функтору тензорного умножения на А, а функтор вложения полной подкатегории периодич. групп сопряжен справа функтору взятия нериодич. части произвольной абелевой группы.
4) Пусть - пренебрегающий функтор из произвольного многообразия универсальных алгебр в категорию множеств. Функтор Робладает левым С. ф. к-рый каждому множеству Xсопоставляет свободную алгебру многообразия с множеством Xсвободных образующих.
5) Функтор вложения произвольной рефлективной подкатегории категории сопряжен слева -рефлектору. В частности, функтор вложения категории абелевыx групп в категорию групп обладает левым С. ф., к-рый каждой группе Gсопоставляет ее факторгруппу по коммутанту.
Свойства С. ф. Функтор, сопряженный слева к данному функтору, определен однозначно с точностью до изоморфизма функторов. Сопряженный слева функтор унивалентен тогда и только тогда, когда единица сопряжения состоит из мономорфизмов. Он перестановочен с копределами и переводит нулевые объекты и нулевые морфизмы в нулевые объекты и нулевые морфизмы соответственно.
Пусть и - полные слева и локально малые слева категории. Функтор тогда и только тогда обладает сопряженным слева функтором когда выполнены следующие условия: а) функтор G перестановочен с пределами; б) для каждого хотя бы одно из множеств Н( Х, G(Y), непусто; в) для каждого существует такое множество что всякий морфизм представим в виде где
Переход к двойственным категориям позволяет установить двойственность между понятиями лфунктор, сопряженный слева


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "СОПРЯЖЕННЫЙ ФУНКТОР" в других словарях:

  • СЕРРА ПОДКАТЕГОРИЯ — ненулевая полная локально малая подкатегория абелевой категории такая, что для каждой точной последовательности в верно, что эквивалентно и Л о к а л ь н а я м а л о с т ь категории есть условие: совокупность представителей классов эквивалентных… …   Математическая энциклопедия

  • ЗАМКНУТАЯ КАТЕГОРИЯ — категория с дополнительной структурой, позволяющей использовать внутренний Hom функтор как сопряженный справа функтор к абстрактному тензорному произведению. Категория наз. замкнутой, если в ней задан бифунктор (см. Функтор), выделен объект I,… …   Математическая энциклопедия

  • ЭТАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ — наиболее важный пример топологии Гротендика (см. Тополoгизированная категория), позволяющий дать определение когомологич. и гомотопич. инвариантов для абстрактных алгебраич. многообразий и схем. Пусть X схема. Э. т. на Xназ. категория Xet… …   Математическая энциклопедия

  • Индефинитное произведение — Тензорное произведение  одно из основных понятий линейной алгебры. Содержание 1 Тензорное произведение модулей 2 Свойства …   Википедия

  • Умножение двухэлементного тензора — Тензорное произведение  одно из основных понятий линейной алгебры. Содержание 1 Тензорное произведение модулей 2 Свойства …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»