СИММЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

обобщение алгебры многочленов. Если М - унитарный модуль над коммутативно-ассоциативным кольцом Ас единицей, то С. а. модуля Мназ. алгебра S(M)=T(M)/I, где Т(М) - тензорная алгебра модуля М, I - ее идеал, порожденный элементами вида .

С. а.- коммутативно-ассоциативная А-алгебра с единицей; она градуирована:

где , причем S⁰(M)=A, S¹ (М)= М. Модуль S^P (М)наз. р-й симметрической степенью модуля М.

Если М - свободный модуль с конечным базисом х ₁, . . ., х _n, то соответствие продолжается до изоморфизма алгебры S(М).на алгебру многочленов A[X₁, . . ., Х _п](см. Многочленов кольцо).

Для любого гомоморфизма А- модулей р-я тензорная степень индуцирует гомоморфизм ( р-я симметрическая степень гомоморфизма f). Получается гомоморфизм А-алгебр S(f):S(М)S(N). Соответствия и являются соответственно ковариантными функторами из категории A-модулей в себя и в категорию А- алгебр. Для любых двух A-модулей Ми Nимеет место естественный изоморфизм .

Если М - векторное пространство над полем характеристики 0, то симметрирование определяет изоморфизм С. a. S(M).на алгебру симметрических контравариантных тензоров на Мотносительно симметрич. умножения:

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980. А. Л. Онищик.