- СУПЕРАЛГЕБРА
-
-градуированная алгебра над полем k(см. Градуированная алгебра), т. е. суперпространство А над k, снабженное четным линейным отображением 
С. наз. коммутативной (или градуированио-коммутативной), если 
Определение С. можно обобщить на случай, когда областью скаляров является произвольная ассоциативно-коммутативная С. С. Примеры ассоциативных С. над С:алгебра М т|п (С)матриц вида
где 
снабженная естественной 
градуировкой;
тензорная алгебра Т (М)
-градуированного модуля Мнад С; симметрическая алгебра S (М)= Т(M)/I модуля М, где I - идеал, порожденный элементами вида 
внешняя алгебра L (M)= S (П (M)) модуля М(последние две С. коммутативны).
С.
над полем характеристики 0 с умножением [,] наз. супералгеброй Ли, если 
Примеры. Любая ассоциативная С., снабженная операцией коммутирования
алгебра DerАдифференцирований произвольной С. А(т. <е. <линейных преобразований
таких, что 
с операцией коммутирования. По любой С. Ли 
строится ассоциативная универсальная обертывающая С., причем справедливо обобщение Биркгофа- Bumma теоремы.
Известна классификация конечномерных простых С. Ли над полем С (см. [2], [3]). Они делятся на С. Ли классического типа (характеризуемые тем, что алгебра Ли
редуктивна) и С.. Ли картановского типа. С. Ли классич. типа исчерпываются следующими сериями матричных алгебр: 
для четной (соответственно нечетной) симметрической невырожденной билинейной формы;
где 
а также нек-рыми исключительными алгебрами. С. картановского типа - это алгебра 
и ее подалгебры, аналогичные простым Ли градуированным алгебрам Wn, Sn, Hn.
Известны также классификация конечномерных простых С. Ли над
и описание полупростых С. Ли в терминах простых.
Теория линейных представлений С. Ли существенно сложнее, чем для алгебр Ли, поскольку представления простых С. Ли, как правило, не являются вполне приводимыми, а неприводимые представления разрешимых С. Ли могут не быть одномерными. Известны классификация неприводимых представлений простых конечномерных С. Ли над
в терминах старших весов (см. [1], [2]), а также явное описание конечномерных представлений и характеров формула для нек-рых серий этих алгебр [1]. Лит.:[1] Лейтес Д. А., лФункциональный анализ и его приложения
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
