АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ

область математики, возникшая для изучения таких свойств гео-метрич. фигур (в широком смысле - любых объектов, где можно говорить о непрерывности) и их отображений друг в друга, к-рые не меняются при непрерывных деформациях (гомотопиях). В принципе, целью А. т. является полное перечисление таких свойств. Само назв. "А. т." происходит от определяющей роли алгебраич. понятий и методов в решении задач этой области. Наиболее фундаментальными классами объектов, свойства к-рых изучаются в А. т., являются: комплексы (многогранники, полиэдры) - симплициальные, клеточные и др.; многообразия - замкнутые, открытые, с краем (границей), подразделяющиеся в свою очередь на гладкие (дифференцируемые), аналитические, комплексно аналитические, кусочно линейные и, наконец, чисто непрерывные (топологические); косые произведения ( расслоения).и их сечения. Основные типы отображений, рассматриваемые в А. т.,- это произвольные непрерывные, кусочно линейные, гладкие отображения или их важнейшие подклассы: гомеоморфизмы, в частности непрерывные кусочно линейные или гладкие ( диффеоморфизмы);вложения одного объекта в другой, а также погружение (локальное вложение, иммерсия).

Важнейшим понятием А. т. является понятие деформации. Деформации подвергается отображение какого-то класса одного объекта в другой. Основными типами деформаций являются: гомотопия, или произвольная непрерывная (гладкая, кусочно линейная) деформация, непрерывного отображения; изотония (непрерывная, гладкая, кусочно линейная) - деформация гомеоморфизма, вложения или погружения, где в процессе деформации в каждый момент времени отображение остается гомеоморфизмом, вложением или погружением.

Главные внутренние проблемы А. т. - это проблема классификации многообразий относительно гомеоморфизмов (непрерывных, гладких, кусочно линейных), классификация вложений (или погружений) относительно изотонии (регулярных гомотопий), классификация общих непрерывных отображений относительно гомотопий. Важную промежуточную роль в решении этих задач играет проблема классификации комплексов пли многообразий относительно так наз. гомотопич. эквивалентности или гомотопического типа.

Большую роль в развитии А. т. играли следующие задачи, носящие несколько более частный характер.

1) Обычно проблему вложения понимают не в самой общей форме, а лишь для вложений в евклидово пространство. Особо важным частным случаем здесь является узлов теория (и зацеплений) в трехмерном пространстве, к-рая послужила одним из главных истоков А. т. К этому случаю примыкает также кос теория.

2).Заметную роль в истории А. т. играла теория го-мологич. инвариантов расположения различных множеств в евклидовом пространстве и законов двойственности (см. Двойственностъ в алгебраич. топологии), связывающих гомологии множества и дополнения к нему.

3) Ряд фундаментальных результатов был получен о вычислении алгебраич. числа неподвижных точек отображения многообразия в себя; особенно много глубоких фактов было здесь открыто для неподвижных точек компактных гладких групп преобразований - даже циклич. групп конечного порядка.

4) Большую технич. роль в развитии А. т. сыграли методы, развитые для решения так наз. задачи о ко-бордизме: найдется ли многообразие с краем (кобордизм), границей к-рого служит заданное замкнутое многообразие. Вопросы такого рода возникли впервые в связи с вычислением гомотопических групп сфер. Важны случаи, когда задача о кобордизме решается до конца на языке характеристических классов.

5) Накоплено много фактов о гомологич. инвариантах особенностей векторных, реперных, тензорных полей и особенностей гладких отображений многообразий друг в друга и, в частности, в евклидово пространство. Решение этой задачи приводит, в частности, к ха-рактернстич. классам. Особо важным случаем являются стационарные точки гладких функций на многообразиях или различных функционалов иа пространствах путей (экстремалей) - их связь с гомологии теорией играет большую роль в выяснении геометрич. строения многообразий, оценке снизу числа экстремалей.

6) Исследование алгебро-топологич. свойств важнейших специальных пространств - Ли групп - тесно связано с их алгебраич. структурой, их представлениями, вариационным исчислением на группах Ли. Результаты о топологич. строении групп Ли лежат в основе многих методов и фактов А. т., относящихся к любым многообразиям. К группам Ли по методам примыкает А. т. однородных многообразий.

7) Особую роль в А. т. играют специальные инварианты, связанные с различными алгебраич. структурами над фундаментальной группой. Простейшие инварианты такого типа появились в теории узлов и трехмерных многообразий; в дальнейшем их алгебраич. теория существенно развилась и выделилась в алгебраич. дисциплину - стабильную алгебру, или алгебраическую К-теорию.

8) Анализ геометрич. строения громадного числа примеров простейших наиболее часто встречающихся типов многообразий (напр., групп Ли, однородных пространств, многообразий линейных элементов, многообразий с дискретными группами движений), а также фундаментальные основы римановой геометрии приводят к понятию косого произведения (расслоения), составленного из сомножителей - базы и слоя, всего пространства произведения вместе с проекцией на базу, структурной группы преобразований слоя. В связи с этим к числу центральных проблем А. т. относятся также проблема классификации косых произведений и проблема классификации их сечений относительно гомотопии. Особо важными являются главные расслоения и векторные расслоения.

Метод, с помощью к-рого решаются все основные вопросы А. т., состоит в построении алгебраич. инвариантов, эффективно вычислимых в конкретных примерах и принимающих какую-то дискретную совокупность значений; значение инварианта не должно меняться при деформациях в соответствующем классе отображений, для изучения к-рого этот инвариант построен. Большое количество необходимых инвариантов, богатство алгебраич. связей между ними и трудность их вычисления определили, в конечном счете, современное лицо А. т.

Вычисление алгебро-топологич. инвариантов простейших часто встречающихся многообразий не всегда является легким делом. Напр., вычисление гомологич. инвариантов групп Ли и многих однородных пространств потребовало больших усилий и использования сложных методов. Еще труднее вычислять гомотопич. группы. Ряд наиболее важных гомотопич. групп для групп Ли был неожиданным образом вычислен с помощью вариационной теории геодезических; знание таблицы этих гомотопич. групп для групп Ли позволило классифицировать векторные расслоения.

Большинство алгебро-топологич. инвариантов представляет собой так наз. функтор на категории топологич. пространств изучаемого типа. Это означает, грубо говоря, что значения инварианта естественно преобразуются при отображениях пространств друг в друга: напр., фундаментальные группы любых пространств или их группы (кольца) гомологии (когомологий) испытывают гомоморфизмы при непрерывных отображениях; характеристич. классы (отмеченные элементы в гомологиях) переходят друг в друга при гомеоморфизмах многообразий; результат применения когомологич. операции к элементу гомологии (когомологий) переходит, после непрерывного отображения пространства, в результат применения этой операции к образу этого элемента и т. д.

Одно из главных свойств, лежащее в основе изучения и применений почти всех алгебро-топологпч. инвариантов, заключается в том, что их эффективное построение, как правило, связано с существенно дополнительной геометрич. структурой: построение всех основных инвариантов гомеоморфизма для комплексов требует разбиения на симплексы или клетки, в то время как результат построения должен быть инвариантен относительно всех непрерывных гомеоморфизмов и даже гомотопич. эквивалентностей - напр., фундаментальная группа, эйлерова характеристика, гомологии группа (группа Бетти), когомологий кольцо, когомологические операции,. Точно так же построение всех основных инвариантов гомеоморфизма для гладких многообразий требует либо их предварительной триангуляции и тем самым сведения к комплексам, либо существенного использования средств анализа; напр., построение кольца когомологий через дифференциальные формы (кососимметрич. тензоры) и дифференциальные операции над ними, либо построение характеристич. классов через особенности векторных, репер-ных или тензорных полей. Более того, иногда необходимо использовать средства римановой геометрии - напр., существенную роль играет определение характеристич. классов многообразия пли косого произведения через риманову кривизну, хотя результат инвариантен относительно всех непрерывных гомеоморфизмов. В связи с этим в истории топологии появление основных эффективно вычислимых инвариантов было связано с трудным вопросом о том, как доказать инвариантность этой величины. Это - еще один тип проблем, существовавших в А. т. Напр., рациональные характеристич. классы (или интегралы от классов по циклам) оказались топологически инвариантными, а гомотопически неинвариантными. Полные целочисленные характерпстич. классы оказались неинвариантными относительно непрерывных и даже кусочно линейных гомеоморфизмов.

Напротив, если инвариант строится так, что он с самого начала - по определению - инвариантен относительно непрерывных гомеоморфизмов (или более общего класса преобразований - гомотопич. эквпвалент-ностей), то этот инвариант, как правило, трудно вычислять. Важнейшим таким инвариантом являются гомотопич. группы или классы гомотопных отображений сферы в изучаемое пространство. Даже в ряде простейших примеров вычисление гомотопич. групп приводит к большим трудностям. Так, гомотопич. группы самих сфер неизвестны полностью, несмотря на большое количество методов, к-рые были найдены для их вычисления в процессе развития А. т.

В основе методов классификации гомотопич. классов отображений лежит теория гомологии в соединении с теорией косых произведений, где возникает аппарат спектральных последовательностей, а также когомологич. операции и их обобщения. Алгебраич. дисциплина, возникшая на базе сложных вычислительных средств А. т., связанных с теорией гомологии, наз. гомологической алгеброй.

Все основные первичные построения теории гомологии для комплексов и гладких многообразий через триангуляцию или дифференциальные формы носят эффективный комбинаторно-алгебраич. или аналитич. характер. Вместе с тем в процессе развития А. т. было замечено, что теория гомологии полностью определяется небольшим набором своих формальных свойств (аксиом), к-рые и лежат в основе всех ее вычислительных средств:

1) Гомотопическая инвариантность групп гомологии.

2) При непрерывных отображениях пространств их группы гомологии отображаются друг в друга гомоморфно, причем суперпозиции отображений соответствует суперпозиция этих гомоморфизмов (функториальность).

3) Постулируется определенная форма связи между когомологиямп комплекса, подкомплекса п факторком-плекса (аксиома точности).

4) Так наз. аксиома вырезания.

5) Нормировка: надо знать группы гомологии лишь для точки и знать, что они равны нулю в непулевых размерностях.

Позднее было замечено, что объекты совершенно различной геометрич. природы могут обладать всеми этими свойствами, кроме последнего (нет нормировки). Такие объекты были названы обобщенными, или экстраординарными теориями гомологии; они использованы для усовершенствования вычислительных методов А. т. Важнейшим примером является К-теория, построенная из линейных (векторных) косых произведений над изучаемым пространством вместо его циклов или дифференциальных форм, из к-рых строились обычные группы гомологии. Другой важный пример - теория кобордизмов (бордизмов), где вместо любых циклов берутся только отображения замкнутых многообразий в изучаемое пространство, а вместо любых пленок - только отображения многообразий с краем какого-то класса.

Соединение методов А. т. с небольшим числом непосредственно геометрии, фактов о строении многообразий и их групп гомеоморфизмов привело, в конечном счете, к более или менее полному с современной точки зрения решению задачи о классификации многообразий относительно всех видов гомеоморфизмов (гладких, кусочно линейных, непрерывных), а также к решению основных задач о классификации вложений и погружений. Исключение представляют, как ни странно, задачи, связанные с трехмерными и четырехмерными многообразиями, где основные проблемы не решены (1977).

Ввиду завершенности ряда основных внутренних проблем собственно А. т., ее современные усилия постепенно переключаются на применение сложившихся идей к различным задачам других областей.

Лит.:[1] Атья М. Ф., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [2] 3ейферт Г., Трельфалль В., Топология, пер. с нем., М.- Л., 1938; [3] МилнорД ж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965: [4] его ж е, Теорема об h-кобордизме, пер. с англ., М., 1969; [5] его ж е, Особые точки комплексных гиперповерхностей, пер. с англ., М., 1971; [6] его же, "Математика", 1959, т. 3, № 4, с. 3-53; 1965, т. 9, № 4, с. 3-40; {7] Милнор Д ж., Уоллес А., Дифференциальная топология, пер. с англ., М., 1972; [8] Xу Сыцзян, Теория гомотопий, пер. с англ., М., 1964; [9] Стинрод Н., Топология косых произведений, пер. с англ., М., 1953; [10]Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; [11] Лере Ж., Дифференциальное и интегральное исчислепия на комплексном аналитическом многообразии, пер. с франц., 1961; [12] Чжень Шэншень, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [13] Спрингер Д ж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [14] Александров П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; [15] Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, 2 изд.. М., 1976; [16] его же, Гладкие многообразия и их применении в теории гомотопий, 2 изд., М.,1976; [17] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [18] Фукс Д. В., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л., Гомотопическая топология, М., 1969; [19] Новиков С. П. [и др.], "Успехи матсм. наук", 1966, т. 21, вып. 5; [20] Хирцеб рух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с аигл., М., 1973. С. П. Новиков.