АНАЛИТИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ

многообразие с аналитич. атласом. Структура n-мерного аналитич. многообразия над полным недискретно нормированным полем kна топологич. пространстве Мопределяется заданием на Маналитич. атласа над k, т. е. набора карт со значениями в kⁿ, покрывающего М, любые две карты из к-рого связаны между собой аналитически. При этом считается, что два атласа определяют одну и ту же структуру, если их объединение является аналитпч. атласом. На А. м. Мопределен пучок Qростков k-значных аналитич. функций. Возникающий таким образом класс окольцованных пространств ( М, 0).совпадает с классом гладких аналитич. ространств над k.

В случае, если - поле действительных чисел , говорят о вещественных аналитических многообразиях; если - поле комплексных чисел ,- о комплексных аналитич е-с к и х (или просто комплексных) многообразиях; если - поле -адических чисел ,- о р-адических аналитических многообразиях. Примерами А. м. являются: n-мерное евклидово пространство , n-мерное проективное пространство над , аффинные и проективные алгебраич. многообразия над без особых точек, группы Ли и их однородные пространства.

Понятие А. м. восходит к Б. Риману и Ф. Клейну (В. Riemann, F. Klein), но впервые было точно сформулировано Г. Вейлем в книге [4] для случая римановых поверхностей, т. е. одномерных комплексных многообразий. В настоящее время (70-е гг.) А. м. естественно рассматривать как частный случай аналитических пространств, к-рые можно грубо описать как "многообразия с особыми точками". Понятие аналитпч. пространства возникло в 50-х гг. 20 в. и стало основным объектом теории аналитич. функций; многие фундаментальные результаты, полученные для А. м., удалось перенести на негладкий случай.

Изложение общих свойств А. м. над произвольным полем можно найти в [3].

Существует тесная связь между теориями вещественных аналитических и дифференцируемых многообразий, а также между теориями вещественных и комплексных аналитич. многообразий. Очевидно, на всяком вещественном А. м. определена естественная структура многообразия класса . 15 1936 X. Уитни (Н. Whitney) доказал, что и обратно, на всяком паракомпактном многообразии класса можно определить аналитич. структуру над , индуцирующую исходную гладкую структуру. Из теоремы Г. Грауэрта (Н. Grayert) о вложимости паракомпактного аналитич. многообразия над R в евклидово пространство следует, что эта аналитич. структура определена однозначно с точностью до изоморфизма (не обязательно тождественного) (см. [2]).

На каждом комплексном многообразии Мопределена естественная структура вещественного А. м. (удвоенной размерности). Ответ на обратный вопрос, т. е. на вопрос о существовании и единственности комплексной структуры на заданном вещественном А. м., получен только в простейших случаях. Так, если М - связное двумерное вещественное А. м., то необходимыми и достаточными условиями существования комплексной структуры на Мявляются паракомпактность и ориентируемость, а задача классификации этих структур есть классич. задача о модулях риманоеых поверхностей. Имеется классификация компактных аналитических поверхностей (т. е. двумерных компактных комплексных многообразий), дающая частичный ответ на поставленный выше вопрос для 4-мерных вещественных многообразий. С другой стороны, при помощи топологич. методов можно указать классы вещественных многообразий, не допускающих почти комплексных и тем более комплексных структур. К таким многообразиям относятся сферы при , 3. Описание комплексных структур, достаточно близких к заданной, дает теория деформаций аналитических структур, важную роль в к-рой играют банаховы А. м.- бесконечномерные аналоги А. м.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975; [2] Нарасиихан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1971; [3] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ, и франц., М., 196"; [4] Wеу1 Н., Die Idee der Riemannschen Flache, 3 Aufl., Stuttg., 1955. А. Л. Онищик.