РИМАНА ИНТЕГРАЛ

- обобщение понятия Коши интеграла на нек-рый класс разрывных функций, введенное Б. Риманом (В. Riemann, 1853). Пусть функция f (х)задана на отрезке [ а, b]и . Сумму вида

(1)

где , наз. и н т е г р а л ь н о й с у м м о й, отвечающей данному разбиению отрезка [а, b] точками x_i и выбору точек . Число I наз. пределом интегральных сумм (1) при , если для любого e>0 найдется d.>0 такое, что при справедливо неравенство . Если существует конечный предел I интегральных сумм при , то функцию f(х). наз. и н т е г р и р у е м о й в с м ы с л е Р и м а н а на отрезке [а, b]при а<b, а указанный предел - о п р е д е л е н н ы м и н т е г р а л о м Р и м а н а от функции f (х). по отрезку [а, b]и обозначают

(2) При а= b, по определению, полагают

а при а>b определяют интеграл (2) с помощью равенства

Необходимым и достаточным условием интегрируемости f(x)на [а, b] в смысле Римана являются ограниченность f(x)на этом отрезке и равенство нулю Лебега меры множества всех точек разрыва f(х), содержащихся на [ а, b].

С в о й с т в а Р. и. 1) Всякая интегрируемая по Риману на отрезке [ а, b]функция f(x)ограничена на этом отрезке (обратное неверно: примером ограниченной и неинтегрируемой на [а, b] функции служит Дирихле функция).

2) Л и н е й н о е с в о й с т в о: для любых постоянных a и b из интегрируемости на [ а, b]каждой из функций f (х)и g(x)следуют интегрируемость на этом отрезке функции и равенство

3) Из интегрируемости на отрезке [ а, b]каждой из функций f (х)и g(x)следует интегрируемость на этом отрезке произведения f(x)g(x).

4) А д д и т и в н о с т ь: из интегрируемости функции f(x)на каждом из отрезков [а, с]и [ с, b]следуют интегрируемость f(x)на отрезке [а, b] в равенство

5) Если функции f(x)и g(x) интегрируемы на [а, b]и если всюду на этом отрезке, то

6) Из интегрируемости на [ а, b]функции f(x)следуют интегрируемость на этом отрезке функции фf(х)фи справедливость оценки

7) Ф о р м у л а с р е д н е г о з н а ч е н и я: если функции f(х)и g(x)интегрируемы на [ а, b], функция g(x)неотрицательна или неположительна всюду на этом отрезке, а Ми т - точные верхняя и нижняя грани f(x)на [а, b], то найдется число m из отрезка такое, что справедлива формула

(3)

Если, кроме того, функция f(x)непрерывна на [ а, b], то на этом отрезке найдется точка такая, что в формуле (3)

8) В т о р а я ф о р м у л а с р е д н е г о з н а ч ен и я (ф о р м у л а Б о н н е): если функция f (х)интегрируема на [ а, b], а функция g(x)монотонна на этом отрезке, то найдется точка на [ а, b]такая, что справедлива формула

Лит.:[1] R i e m a n n В., "Gottinger Akad. Abhandl.", 1868, Bd 13; [2] И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [3] К у д р я в ц е в Л. Д., Курс математического анализа, т. 1-2, М., 1981; [4] Н и к о л ь с к и и С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975. В. А. Ильин.