ПРОСТРАНСТВО С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ

G-пространство,- пара объектов (E, G), из к-рых первый есть векторное пространство Енад полем комплексных чисел, а второй есть билинейная (точнее, полуторалинейная) форма Gнад Е;эта форма наз. также G - метрикой. Если G- положительно определенная (т. н. дефинитная) форма, то Gесть скалярное произведение в E, и с помощью G можно канонич. способом (см., напр., Гильбертово пространство с индефинитной метрикой).ввести норму и расстояние (т. е. обычную метрику) для элементов из Е. В случае общей полуторалинейной формы нет норм или метрик, канонически связанных с G, и термин "G-метрика" лишь напоминает о тесной связи дефинитных полуторалинейных форм с нек-рыми метриками в векторных пространствах.

Теория конечномерных пространств с индефинитной метрикой, наз. чаще билинейно метрич. пространствами или пространствами с билинейной метрикой, разработана еще Г. Фробениусом и излагается в курсах линейной алгебры (см. [1]).

Основной целью общей теории П. с и. м. является выделение и исследование сравнительно простых, но важных для приложений классов несамосопряженных операторов в гильбертовом пространство. П. с и, м. впервые введены Л. С. Понтрягиным [2] (подробнее см. Понтрягина пространство).

Теория П. с и. м. развивается по Двум направлениям - геометрия этих пространств и линейные операторы в них.

Геометрия общих П. с и. м. в основном исследует:

а) связь G-метрики с различными топологиями на Е;

б) классификацию векторных подпространств (линеалов) в Е относительно G-метрики (особенно т. н. дефинитных подпространств; см. ниже); в) свойства G-пpoектирования; г) базисы G-пространств.

В случае эрмитовой G-метрики (G ^э -метрики), т. е. такой, что для всех , важнейшими понятиями и результатами геометрии П. с п. м. являются следующие. Пусть каждому вектору поставлен в соответствие линейный функционал . Топология t на Еназ. подчиняющей G - метрику, если функционал G _у непрерывен в t для всех ; топология t наз. согласующейся с G-метрикой, если она подчиняет G и каждый t-непрерывный функционал имеет вид . В пространстве Е с индефинитной метрикой можно задать не более одной топологии Фреше, подчиняющей G, и, однако, не каждая G-метрика допускает такую топологию (см. [4]). Если подчиняющая G-метрику топология является предгильбертовой топологией на Еи задается в Ескалярным произведением , то форма H наз. эрмитово неотрицательной мажорантой формы G; в этом случае

После пополнения по H-норме получается гильбертово пространство с индефинитной метрикой , где - продолжение G по непрерывности на все пространство . При этом метрика может оказаться вырожденной, даже если G - невырожденная метрика. Этого вырождения не происходит, если метрика G невырождена и наибольшая из размерностей у. положительных подпространств в Еконечна. В последнем случае получается пространство Понтря-гина .

Подпространство Lв пространстве ( Е, G) с индефинитной метрикой наз. положительным подпространством, отрицательным подпространством (общее название - дефинитным подпространством) или нейтральным подпространством, в зависимости от того, будет ли G(x,z)>0, G(x, x)<0 или G(x, x)=0 для любого ; подпространство максимально положительно, если оно положительно и не может быть расширено с сохранением этого свойства. Всякое подпространство одного из названных типов содержится в максимальном подпространстве того же типа.

Важную роль в классификации подпространств в пространствах с индефинитной метрикой играют понятия канонического разложения и G-ортогонального проектирования.

Вектор наз. G-oртогональным к подпространству ( изотропным подпространством относительно L), если G(x, у)=0 для любого . Подпространство Lназ. вырожденным, если оно содержит хотя бы один ненулевой вектор, изотропный относительно L.

Если L - подпространство в пространстве Ес индефинитной метрикой, то - его G-oртогональное дополнение. Всегда L "=L^t, где t - любая топология, согласующаяся с G. G-ортогональное дополнение L' вырожденного векторного подпространства Lявляется вырожденным векторным подпространством, замкнутым относительно любой топологии t, согласующейся с G, а есть векторное подпространство изотропных элементов. Подпространство Lназ. проекционно полным, если каждый вектор имеет G- проекцию на L, т. е. существует такое , что G(x, у-у ₀)=0 для каждого . Единственность G- проекции на L равносильна невырожденности подпространства L,aее существование зависит от непрерывности функционала G_y в топологиях на L, согласующихся с G. Если Ми N являются G- ортогональными подпространствами и M+N=E, to М и N проенционно полны; если L - проекционно полное подпространство, то L+L'=E, причем сумма есть прямая сумма, если Е - невырожденное пространство с индефинитной метрикой.

Пусть L- дефинитное подпространство в пространстве с индефинитной метрикой E;оно наа. регулярным, если каждый функционал , непрерывен на L в норме ||x||_G=|G(x, x)|^1/2. В противном случае оно наз. сингулярным. Всякое невырожденное бесконечномерное пространство с индефинитной метрикой содержит сингулярные подпространства. Дефинитное подпространство Lпроекционно полно в том и только в том случае, если оно регулярно и если для любого найдется такой вектор , что

Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой изучались в основном в гильбертовых пространствах с индефинитной метрикой; имеется обзор банаховых аналогов (см. [8]).

Как и в случае гильбертовых пространств с индефинитной метрикой, важным инструментом изучения геометрии П. с и. м. и линейных операторов в пространствах ( Е, G), наделенных нек-рой топологией, согласованной с G, являются так наз. G-oртонормированные базисы в Е, т. е. такие базисы {е _п} топологического векторного пространства Е, что (Ge_k, e_n)=+d_kn; k, n=1, 2, ... (см. [4]).

Лит.:[1] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; [2] Понтрягин Л. С., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1944, т. 8, с. 243-80; [3] Иохвидов И. С., К р е и н М. Г., "Тр. Моск. матем. об-ва". 1956, т. 5, с. 367- 432; [4] Гинзбург Ю. П., Иохвидов И. С., "Успехи матем. наук", 1962, т. 17, № 4, с. 3-56; [5] Крейн М. Г., в кн.: Вторая летняя матем. школа, ч. 1, К., 1965, с. 15-92; [6] Азизов Т. Я., Иохвидов И. С., "Успехи матем. наук", 1971, т. 26, в. 4, с. 43-92; [7] Надь К., Пространства состояний с индефинитной метрикой в квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1969; [8] Иохвидов И. С., "Изв. АН Молд. ССР", 1968, № 1, с. 60-80. Н. К. Никольский, Б. С. Павлов.