- ПРОСТРАНСТВО С МЕРОЙ
(X, А, m) - измеримое пространство(X, А).с заданной на А мерой и (т. е. счетно аддитивной функцией со значениями в [0,
], для к-рой m(
)=0; последнее свойство следует из аддитивности, если мера конечна, т. е. не принимает значения 
, и даже если имеется хоть одно 
с mY<
). Запись (X, А,m) часто сокращают до (X,m) и говорят, что m есть мера на X;иногда эту запись сокращают даже до X. Основной случай - когда Аявляется s-алгеброй и Xможно представить в виде 
с 
и 
; меру в этом случае наз. (вполне) а-конечной (а если 
, то (вполне) конечной). Такова, напр., мера Лебега на 
(см. Лебега пространство). Однако иногда встречаются и не о-конечньте меры, как, напр., k- мерная Хаусдорфа мера на 
при k<n. Встречаются также модификации, когда и принимает значения в (
,
], комплексные, или векторные значения, а также когда m. всего лишь конечно аддитивна.
Лит.:[1] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [2] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные операторы, ч. 1 - Общая теория, пер. с англ., М., 1962.
Д. В. Аносов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
