ПРОСТОГО СЛОЯ ПОТЕНЦИАЛ

выражение вида

(1)

где S - замкнутая поверхность Ляпунова (класса C^{(1, l)}) в евклидовом пространстве , разделяющая Rⁿ на внутреннюю область D⁺ и внешнюю D^-; h(|x-у|) - фундаментальное решение оператора Лапласа:

- площадь единичной сферы в , | х-у| - расстояние между точками хи у, ds(у) - элемент площади S.

Если , то П. с. п. и(х).определен всюду в . П. с. п. представляет собой частный случай ньютонова потенциала, порождаемого массами, распределенными на поверхности Sс поверхностной плотностью f(y), и обладает следующими свойствами.

В D⁺ и D^- П. с. п. и(х).имеет производные всех порядков, к-рые можно вычислять под знаком интеграла, и удовлетворяет уравнению Лапласа Du(х)=0, т. е. является гармонической функцией. При эта функция регулярна на бесконечности, и()=0. П. с. п. и(х).непрерывен во всем пространстве , причем при любом v, 0<v<l. При переходе через поверхность Sпроизводная но направлению внешней нормали п₀ к Sв точке терпит разрыв. Предельные значения нормальной производной из области D⁺ и из области D^- существуют и непрерывны всюду на Sи выражаются соответственно формулами

где (2)

(3)

- т. н. прямое значение нормальной производной П. с. п. в точке , причем при всех v, 0<v<l. Если , то частные производные функции и(х).непрерывно продолжаются в и в до функций классов и соответственно. В этом случае также

Эти свойства обобщаются в различных направлениях. Напр., если , то внутри и вне S, формулы (2) имеют место почти всюду на S, причем интеграл (3) суммируем на S. Изучены также свойства П. с. п., понимаемых как интегралы по произвольной радоновской мере m, сосредоточенной на S:

здесь также u(х) - гармонич. функции вне S, формулы (2) имеют место почти всюду на Sпо мере Лебега с заменой f(у).на производную меры m' (y₀) по мере Лебега. В определении (1) фундаментальное решение оператора Лапласа можно заменить на произвольную функцию Лови для общего эллиптич. оператора 2-го порядка с переменными коэффициентами класса С ^{(0, l)} с заменой нормальной производной d/dn₀ на производную по конормали. При этом перечисленные свойства остаются в силе (см. [2] - [4]).

П. с. п. используется при решении краевых задач для эллиптич. уравнений. Представление искомого решения 2-й краевой задачи в виде П. с. п. с неизвестной плотностью f(у).и использование свойства (3) приводит к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода на S для определения f(y).(см. [2] - [5]).

При решении краевых задач для параболич. уравнений используется тепловой потенциал простого слоя вида

где

- фундаментальное решение уравнения теплопроводвости в n-мерном пространстве, f(y,t) -плотность. Функция v(x, t).и ее обобщение на случай произвольного параболич. уравнения 2-го порядка обладают свойствами, аналогичными указанным для и(х).(см. [3], [4], [6]).

Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; (2] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [4] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, 5 изд., М., 1958; [5] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [6] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966. Е. Д. Соломенцев.