ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

потенциал с логарифмическим ядром где |х-у| - расстояние между точками хи уевклидовой плоскости т. е. потенциал вида

где интегрирование производится, вообще говоря, по произвольной борелевской мере с компактным носителем Физически можно представить, что Л. п. возникает из ньютонова потенциала сил тяготения, когда распределение притягивающих масс в евклидовом пространстве точек y=(y1, y2, y3).не зависит, напр., от координаты y3. Общая масса при этом, разумеется, бесконечна, но если произвести регуляризацию получающейся силы притяжения F, к-рую можно считать действующей в плоскости (x1, x2,0), состоящую в отбрасывании бесконечного слагаемого, то потенциал конечной части силы Fбудет иметь как раз вид (1) (см. [2]). В отличие от ньютонова, логарифмич. ядро имеет особенность не только при но и при что обусловливает нек-рые отличия в поведении Л. п. по сравнению с ньютоновым. Они проявляются главным образом при решении внешних краевых задач (см. Внешняя и внутренняя краевые задачи). Основные применения Л. п. находит при решении плоских краевых задач теории потенциала (см. также Краевая задача для эллиптического уравнения).

Основные свойства Л. п.: 1) вне носителя Sмеры m Л. п. является регулярным решением Лапласа уравнения т . е. и(х) - гармонич. функция на открытом множестве не регулярная, однако, на бесконечности; 2) если мера m абсолютно непрерывна, т. е. интеграл (1) принимает вид

где D - конечная область, - элемент площади Dи плотность f(у).принадлежит классу то вторые производные и(х).непрерывны в Dи удовлетворяют Пуассона уравнению

Если интеграл в (2) распространен по замкнутой кривой Ляпунова L(см. Ляпунова поверхности и кривые), т. е.

то говорят о логарифмическом потенциале простого слоя, распределенного на L. Если при этом то Л. п. простого слоя (3)

непрерывен всюду в Его нормальная производная имеет пределы изнутри и извне Lсоответственно:

где

- т. н. прямое значение нормальной производной Л. п. простого слоя, (у- у 0, n0) - угол между вектором у - y0 и внешней нормалью n0 к Lв точке Интеграл (4) непрерывен на L.

Логарифмический потенциал двойного слоя имеет вид

где п - внешняя нормаль к L в точке Если то Л. п. двойного слоя (5) является регулярной гармонич. функцией внутри и извне Lи имеет пределы по нормали изнутри и извне Lсоответственно:

где

- прямое значение Л. п. двойного слоя в точке Нормальная производная Л. п. двойного слоя непрерывна при переходе через L.

Перечисленные граничные свойства Л. п. простого и двойного слоя вполне аналогичны соответствующим свойствам ньютонова потенциала (см. также Потенциала теория). Из выражения (5) видно, что Л. п. двойного слоя уже является регулярной на бесконечности гармонич. функцией.

Л. п. также непосредственно связан с граничными задачами теории аналитических функций, т. к. интеграл типа Коши выражается через Л. п. простого и двойного слоя (см. [3]).

Лит.:[1] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [2] Вебстер А., Сеrе Г., Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики, пер. с нем., 2 изд., ч. 1 - 2, М.- Л., 1934; [3] М у с х е л и ш в и л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [4] La Vallee-Poussin Сh., Le potentiel logarithmique; balayage et representation conforme, Louvain, 1949; [5] Evans G. C., The logarithmic potential, discontinuous. Dirichlet and Neumann problems, N. Y., 1927. Е. Д. Соломенцев.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ" в других словарях:

  • Логарифмический потенциал — Логарифмическим потенциалом называют функцию, определённую в ℝ2 как свертка обобщённой функции ρ с функцией ln|z|: Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ΔV = −2πρ. По аналогии с ньютоновым потенциалом можно рассматривать три… …   Википедия

  • логарифмический потенциал — logaritminis potencialas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. logarithmic potential vok. logarithmisches Potential, n rus. логарифмический потенциал, m pranc. potentiel logarithmique, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Потенциал Кулона — Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x| 1: Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ. Содержание 1 Объёмный потенциал …   Википедия

  • Потенциал Ньютона — Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x| 1: Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ. Содержание 1 Объёмный потенциал …   Википедия

  • Ньютонов потенциал — Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|−1: Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ. Содержание 1 …   Википедия

  • Кулонов потенциал — Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x| 1: Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ. Содержание 1 Объёмный потенциал …   Википедия

  • РИССА ПОТЕНЦИАЛ — a потенциал, потенциал вида где m положительная борелевская мера с компактным носителем на евклидовом пространстве расстояние между точками . При и a=n 2 Р. п. совпадает с классическим ньютоновым потенциалом;при n=2 и предельным случаем Р. п. в… …   Математическая энциклопедия

  • Теория потенциала — В математической физике, теория потенциала  теория решения и изучения свойств дифференциальных уравнений в частных производных в областях с достаточно гладкой границей посредством введения специальных видов интегралов зависящих от… …   Википедия

  • ВЫМЕТАНИЯ МЕТОД — метод решения Дирихле задачи для Лапласа уравнения, развитый А. Пуанкаре (см. [1], [2], а также [4]) и состоящий в следующем. Пусть D ограниченная область евклидова пространства граница D. Пусть мера Дирака, сосредоточенная в точке ; ньютонов… …   Математическая энциклопедия

  • РОБЕНА ЗАДАЧА — з а д а ч а р а в н о в е с и я, э л е к т р о с т а т и ч е с к а я з а д а ч а, задача о таком распределении положительной борелевской меры l. на границе Sкомпакта Kв n мерном евклидовом пространстве , к рое создает постоянный ньютонов… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»