- БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
группы Ли - представление группы Ли в бесконечномерном векторном пространстве. Теория представлений групп Ли есть часть общей теории, представлений то-пологич. групп. Специфика групп Ли позволяет использовать в этой теории средства анализа (в частности, инфинитезимальный метод), а также значительно расширить класс "естественных" групповых алгебр (функциональных алгебр относительно свертки), рассмотрение к-рых связывает данную теорию с гармоническим анализом абстрактным, т . е. с частью общей теории топологических алгебр.
Пусть G - группа Ли. Представлением группы Gв широком смысле наз. произвольный гомоморфизм
, где
- группа всех обратимых линейных преобразований векторного пространства E: Если Е - топологич. векторное пространство, то обычно рассматриваются гомоморфизмы со значениями в адгебре С(Е).всех непрерывных линейных преобразований пространства Е, либо в алгебре S(Е).всех слабо непрерывных линейных преобразований пространства Е. Алгебры С(Е), S (Е).наделяются одной из стандарт-нйх топологий (напр., слабой или сильной). Представление ф наз. непрерывным (раздельно Х непрерывным), если вектор-функция
непрерывна (раздельно непрерывна) на
. Если Е - квазиполное бочечное пространство, то всякое раздельно непрерывное представление непрерывно. Непрерывное представление ф наз. дифференцируемым (аналитически м), если операторная функция j(g) дифференцируема (аналитична) в S(E). Под размерностью представления
понимают размерность пространства Е. Важнейшим примером представления группы Gявляется ее регулярное представление
определяемое в том или ином классе функций f(z).на группе G. Если G - группа Ли, то ее регулярное представление непрерывно в С(G).и
(
определяется относительно Хаара меры на G) и дифференцируемо в
(относительно стандартной топологии в
- топологии компактной сходимости). Всякое непрерывное конечномерное представление группы G аналитично. Если G - комплексная группа Ли, то естественно рассматривать также ее комплексно аналитические (голоморфные) представления. Как правило, в теории представлений групп Ли рассматриваются только непрерывные представления, и условие непрерывности специально не оговаривается. Если группа G компактна, то все ее неприводимые (непрерывные) представления конечномерны. Соответственно, если G - полупростая комплексная группа Ли, то все ее неприводимые голоморфные представления конечномерны.
Связь с представлениями групповых алгебр. Для группы Ли важнейшими групповыми алгебрами являются алгебра
, алгебра i
- пополнение алгебры
по наименьшей регулярной норме (см. Алгебра функций),
- алгебра всех финитных бесконечно дифференцируемых функций на
- алгебра всех комплексных мер Радона с компактными носителями на
- алгебра всех финитных обобщенных функций (распределений Шварца) на
, а также, для комплексной группы Ли, алгебра
всех аналитич. функционалов над
Линейные пространства
являются сопряженными, соответственно, к
где
- множество всех голоморфных функций на
(с топологией компактной сходимости). Все эти алгебры наделяются естественными топологиями; в частности,
является банаховой алгеброй- Умножение (свертка) элементов
, где
- одна из указанных выше групповых алгебр, определяется равенством
относительно правоинвариантной меры на
, с естественным распространением этой операции на класс обобщенных функций. Интегральная формула
устанавливает естественную связь между представлениями группы
и представлениями алгебры
(при условии корректной определенности интеграла): если интеграл слабо сходится и определяет оператор
при каждом
, то отображение
является гомоморфизмом. В этом случае говорят, что представление
группы
продолжается до представления
алгебры А, пли является Л-представле я н и е м. Обратно, всякое слабо непрерывное невырожденное представление алгебры Аопределяется 1 по указанной формуле, нек-рым представлением группы G(слабо непрерывным при
, слабо дифференцируемым при
, слабо аналитическим при .
). Указанное соответствие сохраняет естественные соотношения между представлениями, такие, как топологич. неприводимость или эквивалентность. Если группа
унимодулярна, то ее унитарным представлениям (в гильбертовых пространствах соответствуют симметричные представления алгебры
относительно инволюции в
(см. Групповая алгебра). Если Е - секвенциально полное локально выпуклое хаусдорфово пространство, то всякое непрерывное представление группы
в пространстве
является
-представлением. Если, кроме того, представление группы
дифференцируемо, то оно является
-представлением. В частности, если
- рефлексивное или квазиполное бочечное пространство, то всякое раздельно непрерывное представление
является
-представлением, причем
для всех
.
Инфинитезимальный метод. Если представление
дифференцируемо, то оно бесконечно дифференцируемо, и пространство
наделяется структурой
-модуля, где
-алгебра Ли группы
, путем рассмотрения инфинитезимальных операторов Ли:
Операторы
образуют представление алгебры
, наз. дифференциалом представления
. Вектор
наз. дифференцируемым (относительно
), если вектор-функция
дифференцируема на G. Вектор
наз. аналитически м, если
- аналитич. функция в окрестности единичной точки
. Если
является
представлением, то пространство
всех бесконечно дифференцируемых векторов всюду плотно в Е. В частности, это верно для всех непрерывных представлений в банаховом пространстве; более того, в этом случае [4] пространство
всех аналитич. векторов всюду плотно в Е. Дифференциал
в
может быть приводимым, даже если
топологически неприводимо в Е. Двум эквивалентным представлениям группы G соответствуют эквивалентные дифференциалы в
); обратное, вообще говоря, неверно. Для унитарных представлений в гильбертовых пространствах
из эквивалентности дифференциалов в
следует эквивалентность представлений [7]. В конечномерном случае представление группы однозначно восстанавливается по своему дифференциалу. Представление алгебры
наз. интегрируемым (G-интегрируемым), если оно совпадает с дифференциалом нек-рого представления группы Gна подпространстве, всюду плотном в пространстве представления. Критерии интегрируемости известны (к 1977) лишь в частных случаях (см., напр., [4]). Если Gодносвязна, то всякое конечномерное представление алгебры
является G- интегрируемым.
Неприводимые представления. Одной из основных задач теории представлений является классификация всех неприводимых представлений данной группы G, определяемых с точностью до эквивалентности, при согласованном определении понятий не-приводимости'и эквивалентности. Так, представляют интерес следующие две задачи. 1) Описание множества
.всех классов унитарной эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы G. 2) Описание множества
Всех классов эквивалентности по Феллу [7] вполне неприводимых представлений группы G. Для полупростых групп Ли с конечным центром эквивалентность по Феллу равносильна эквивалентности по Най-марку [7], причем имеет место естественное вложение
. Множества
естественно топологизируются; при этом топология в них не обязательно хаусдорфова [5]. Если G - компактная группа Ли, то
- дискретное пространство. Описание множества
в этом случае получено Э. Картаном (Е. Cartan) и Г. Вейяем (Н. Weyl). Линейная оболочка
матричных элементов группы G (т. е. матричных элементов представлений
) образует в этом случае подалгебру в
(алгебру сферич. функций), всюду плотную в С(G).и в
Матричные элементы образуют базис в
. Если матрицы всех представлений
определяются в базисе, по отношению к к-рому они унитарны, то соответствующие матричные элементы образуют ортогональный базис в
(теорема Петера- Be й-л я). Если группа G некомпактна, то ее неприводимые представления, как правило, бесконечномерны. Метод построения таких представлений, на примере классических матричных групп предложенный И. М. Гель-фандом и М. А. Наймарком [1], явился началом интенсивного развития теории унитарных бесконечномерных представлений. Обобщением этого метода для произвольных групп Ли является теория индуцированных представлений Дж. Макки[5]. В 50-х гг. 20 в. начинает развиваться также общая теория неунитарных представлений в локально выпуклых векторных пространствах, основанная в значительной степени на теории топологических векторных пространств и теории обобщенных функций. Детальное описание
известно (к 1977) для отдельных классов групп Ли (полупростых комплексных, нильпотентных и некоторых разрешимых групп Ли, а также их полупрямых произведений).
Пусть G - полупростая группа Ли с конечным центром,
есть
-представление в пространстве Еи К - компактная подгруппа в G. Вектор
наз. К- финитным, если его циклич. оболочка относительно Кконечномерна. Подпространство Vвсех /f-финит-ных векторов всюду плотно в Еи является прямой (алгебраической) суммой подпространств
где
- максимальное подпространство в F, представление Кв к-ром кратно
. Представление
наз. К- финитным, если dim
для всех
.
Подгруппа Кназ. массивной, если всякое вполне неприводимое представление группы G является K-финитным. Принципиальное значение в теории представлении имеет следующий факт: если К - максимальная компактная подгруппа в G, то K массивна. Если векторы из Vдифференцируемы, то Vинвариантно относительно дифференциала
представления
. Представление
наз. нормальным, если оно j-финитно и векторы из Vслабо аналитич. Если
нормально, то существует взаимно однозначное отображение (определяемое сужением на V). замкнутых подмодулей G-модуля
и подмодулей
-модуля
, где
- алгебра Ли группы G(см. [7]). Таким образом, изучение нормальных представлений удается алгебраизовать-при помощи инфинитезимального метода. Примером нормального представления группы Gявляется ее элементарное представление
. Представление
вполне неприводимо для точек
общего положения. В общем случае
допускает разложение в конечный композиционный ряд, факторы к-рого вполне неприводимы. Всякое квазипростое неприводимое представление группы Gв банаховом пространстве инфиннтезимально эквивалентно одному из факторов
, при нек-ром
. Это верно также для вполне неприводимых представлений группы G в квазиполных локально выпуклых пространствах. При этом, если Gкомплексна, то вместо факторов
достаточно рассматривать подпредставления
(см. [7]). В простейшем случае
представление
апределяется парой комплексных чисел
с целочисленной разностью
и действует по формуле правых сдвигов
в. пространстве всех функций
удовлетворяющих условию однородности:
Если
- положительные целые числа, то
содержит неприводимое конечномерное подпредставленпе
(в классе полиномов от
, ), фактор по к-рому вполне неприводим. Если -
отрицательные целые числа, то
имеет двойственную структуру. Во всех остальных случаях модуль
вполне неприводим. Множество
в этом случае находится во взаимно однозначном соответствии с множеством пар (
) (.
- целое), факторизованном по отношению (
)~(
). Подмножество
состоит из представлений основной серии (
- чисто мнимое) ( см. <Серии представлений), дополнительной серии (
) и тривиального (единичного) представления d0, к-рое возникает при
Пусть
- полупростая связная .комплексная группа Ли, В - ее максимальная разрешимая (борелевская) подгруппа, М - максимальный тор,
- картановская подгруппа,
- характер группы
(продолженный на В);множество
находится [7] во взаимно однозначном соответствии с
, где А- множество всех характеров
- Вейля группа комплексной алгебры
. Для характеров "общего положения" представление
вполне неприводимо. Описание множества Gсведено к исследованию положительной определенности нек-рых билинейных форм, но окончательное описание (к 1977) неизвестно. Для вещественных групп особый интерес представляет так наз. дискретная серия представлений (прямые слагаемые в
). Все неприводимые . представления дискретной серди классифицированы [3] путем описания характеров этих представлений.
Для нилыютентных связных групп Ли [8] множество
эквивалентно
, где
- линейное пространство, дуальное к
, и действие
в
сопряжено присоединенному представлению в
[9]. Соответствие устанавливается орбит методом18]. Подалгебра
наз. поляризацией элемента
, если
аннулирует
и
где
- орбита
относительно
(всякая орбита четно-мерна). Если
- соответствующая аналитич. одгруппа в
и
- характер группы
, то представление
, соответствующее
, индуцируется характером
подгруппы Н. При этом
эквивалентно
тогда и только тогда, когда соответствующие функционалы
лежат на одной орбите
. В простейшем случае группы
всех унипотентных матриц по отношению к фиксированному базису в
орбиты общего положения в
являются двумерными плоскостями
и точками
на плоскости
. Каждой орбите общего положения соответствует неприводимое представление
группы
, определяемое формулой вида
в гильбертовом пространстве,
. Инфинитезимальные операторы этого представления совпадают с операторами
- единичный оператор в пространстве E. Указанный результат равносилен теореме Стоуна - Неймана о самосопряженных операторах
с коммутационным соотношением
Каждой точке
соответствует одномерное представление (характер)
. Множество
в этом случае описывается аналогично, с выходом в комплексную область по параметрам
. Указанный метод орбит естественно обобщается на разрешимые связные группы Ли и даже на произвольные группы Ли, причем в обще'м случае приходится рассматривать орбиты в
, где
- комплексификация
, удовлетворяющие Век-рым условиям целочисленности [8].
Исследование общего случая сводится в известной степени к двум рассмотренным случаям посредством теории индуцированных представлений [5], позволяющей описывать неприводимые унитарные представления полупрямого произведения
с нормальным делителем
в терминах неприводимых представлений
и нек-рых подгрупп группы
(в силу теоремы Леви - Мальцева). Практически этот метод эффективен лишь в том случае, когда радикал коммутативен. Другим методом научения
является описание характеров неприводимых унитарных представлений группы G;множество таких характеров находится в естественном взаимно однозначном соответствии с,
. Справедливость общей формулы для характеров, предложенной А. А. Кирилловым [8], проверена (к 1977) лишь для отдельных классов групп Ли.
Гармонический анализ функций на G. Для компактной группы Ли гармонич. анализ сводится к разложению функций
в обобщенные ряды Фурье по матричным элементам группы G (теорема Петера - Вейля для
и ее аналоги для других классов функций). Для некомпактных групп Ли основы гармонич. анализа были заложены в [1] введением обобщенного преобразования Фурье
где
- оператор элементарного представления
- мера Хаара на G, и формулой обращения (аналог Планшереля формулы).для
, в случае классических матричных групп над полем G. Этот результат был обобщен на локально компактные унимодулярные группы (абстрактная Планшереля теорема). Преобразование Фурье переводит свертку функций на группе в умножение их (операторных) образов Фурье
и потому является важнейшим инструментом изучения групповых алгебр. Если
- полуиростая группа Ли, то операторы
удовлетворяют структурным соотношениям вида
- сплетающие операторы,
- группа Вейля симметрического пространства
(
- максимальная компактная подгруппа в
),
- группа Вейля алгебры
(
- комплексификация алгебры Ли группы
). Если функции
финитны, то операторные функции
являются целыми функциями комплексных параметров
. Для групповых алгебр
где
- полупростая связная комплексная группа Ли, известны аналоги классических Пэли - Винера теорем[7], т. е. дано описание образов этих алгебр относительно преобразования Фурье. Эти результаты позволяют изучить структуру групповой алгебры, ее идеалов и представлений; в частности, они используются при классификации неприводимых представлений группы
. Аналоги теорем Пэли-Винера известны также для нек-рых нильпотентных (метабеле-вых) групп Ли и для групп движений евклидова пространства.
Проблемы спектрального анализа. Для унитарных представлений групп Ли известна общая процедура разложения представления в прямой интеграл неприводимых представлений. [5]. Проблема состоит в отыскании аналитич. методов, осуществляющих это разложение для конкретных классов групп и их представлений, а также в установлении критериев однозначности такого разложения. Для нильпотентных групп Ли известен способ сужения неприводимого представления
группы
на подгруппу
(см. Орбит метод). Для неунитарных представлений сама постановка задачи требует уточнения, поскольку в классе таких представлений отсутствует свойство полной приводимости. В ряде случаев рассмотрение группы
заменяется рассмотрением одной из ее групповых алгебр
, н задача спектрального анализа трактуется как задача изучения двусторонних идеалов алгебры
. Задача спектрального анализа (и спектрального синтеза).тесно связана также с задачей аппроксимации функций на группе
или однородном пространстве
(
- подгруппа) линейными комбинациями матричных элементов группы
.
Приложения к математической физике. Связь теории представлений групп Ли со специальными функциями математич. физики была отмечена еще О. Картаном. В дальнейшем было установлено, что основные клас. <сы этих функций тесно связаны с представлениями классических матричных групп [10]. Наличие этой связи позволяет с единой точки зрения осветить важнейшие вопросы теории специальных функций: свойства полноты и ортогональности, дифференциальные, рекуррентные соотношения, теоремы сложения и т. д., а также обнаружить новые соотношения и новые классы функций. Все эти функции являются матричными элементами, классич. групп или их модификациями (характеры, сферич. функции). Теория разложения по этим функциям - часть общего гармония, анализа на однородном пространстве
. Принципиальная роль теории групп Ли в математич. физике, в частности в квантовой механике и квантовой теории поля, объясняется наличием групповой симметрии (хотя бы аппроксимативной) в основных уравнениях этой теории. Классич. примерами такой симметрии являются принцип относительности Эйнштейна (относительно группы Лоренца), связь таблицы Менделеева с представлениями группы вращений, теория изотопич. спина, унитарная симметрия элементарных частиц и т. д. Связь с теоретич. физикой оказала стимулирующее влияние на развитие общей теории представлений групп Ли. Лит.:[1 ] Гельфанд И. М., Наимарк М. А., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1950, т. 36; [2] Бурбаки Н., Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свёртка и представления, пер. с франц., М., 1970; [3] Воrе1 А.. Representations de groupes localeraent compacts, В., 1972; [4] Нел сон Э., Аналитические векторы, "Математика", 1962, т. 6, в. 3, с. 89-131; 15] Макки Г., Бесконечномерные представления групп, там же, с. 57-103; [6] Наймарк М. А., Бесконечномерные представления групп и смежные вопросы, в кн.: Итоги науки. Сер. матем., [в. 2], М., 1964, с. 38-82; [7] Желобенко Д. П., Гармонический анализ функций на полупростых комплексных группах Ли, М., 1974; [8] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., 1972; [91 Warner G., Harmonic analisis on semi-simple Lie groups, v. 1, В., 1972; [10] Виленкин Н. Я., Специальные функции и теория представлений групп, М., 1965.
Д. П. Желобенко, М. А. Наймарк.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.