ПРОГОНКИ МЕТОД


ПРОГОНКИ МЕТОД

- метод переноса одноточечного граничного условия с помощью дифференциального или разностного уравнения, соответствующего данному уравнению. Применяется для решения граничной задачи в том случае, когда пристрелки метод не эффективен.

Пусть на отрезке задано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение

(1)

где квадратная матрица (х).порядка n и вектор f(x) - известные непрерывные функции, дифференцируемая вектор-функция у(х) = подлежит определению. К уравнению (1) присоединены граничные условия в форме

(2)

где известные матрицы j и y имеют размеры nx kи n x l и ранги k и l соответственно,


Используя дифференциальные уравнения


с начальными условиями u(а)=j, g(а)=a, где искомая дифференцируемая матрица-функция и(х).имеет размеры , можно определить и(х).и g(х).на всем отрезке (прямой ход прогонки). С помощью уравнения


и второго из граничных условий (2) можно определить значение у(b), если квадратная матрица [и(b),y] имеет ранг п. Искомое решение граничной задачи (1)-(2) вычисляется теперь как решение задачи Коши для уравнения (1) в направлении от точки х=b к точке х=а (обратный ход прогонки). Указанный метод применим и к многоточечной задаче, когда условия вида (2) задаются не только на концах, но и в нескольких внутренних точках отрезка Разработаны варианты метода прогонки для переноса линейных граничных условий, отличных от (2) (см. [1]).

Достоинства П. м. видны на примере следующей граничной задачи:


где квадратная матрица Q(x).порядка пи вектор f(х).размера п - известные непрерывные функции, дважды дифференцируемая вектор-функция у(х).подлежит определению, известные квадратные матрицы j и y имеют порядок Используя дифференциальные уравнения


с начальными условиями v(а)=j, g(a)=a, где искомая дифференцируемая квадратная матрица-функция v(х).имеет порядок , ищутся v(x).и g(х).на всем отрезке (прямой ход прогонки).

С помощью уравнения


и граничного условия (5) можно определить значение

(6)

если матрица v(b) -y имеет ранг п. Искомое решение граничной задачи (3) - (5) находится как решение задачи Коши для уравнения


с начальным условием (6) (обратный ход прогонки). Таким образом, П. м. для задачи (3) - (5) является методом понижения порядка дифференциального уравнения (3).

В случае конечной последовательности линейных алгебраич. уравнений

(7)

где коэффициенты а i, с i, bi- - известные квадратные матрицы порядка v, a fi и ji - известный и искомый вектор-столбцы размера v, a1=0, с n=0, алгоритм прогонки определяется следующим образом:


при условиях b1=0, z1=0 (прямой ход) и


при условии jn+1=0 (обратный ход). Здесь bi - квадратная матрица порядка v, zi и ji - вектор-столбцы размера v. Изложенный метод наз. методом правой прогонки. Аналогично формулам (8)- (10) получаются формулы левой прогонки. Комбинируя левую и правую прогонки, получают метод встречных прогонок. При решении уравнений (7) с сильно меняющимися коэффициентами применяется потоковый метод прогонки. Для нахождения периодич. решения бесконечной последовательности уравнений вида (7) с периодич. коэффициентами используется циклическая прогонка (см. [4]).

См. также Ортогональной прогонки метод.

Лит.:[1] Бахвалов Н. С., Численные Методы, 2изд., М., 1975; [2] Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И., Вычислительные методы, т. 2, М., 1977; [3] Марчук Г. И., Методы вычислительной математики, 2 изд., М., 1980; [4] Самарский А. А., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978.

А. Ф. Шапкин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ПРОГОНКИ МЕТОД" в других словарях:

  • ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОГОНКИ МЕТОД — вариант метода прогонки, основанный на ортогональном преобразовании неизвестных. Пусть при рассматривается граничная задача для пары линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с условиями вида Пусть данные функции, ai (х), bi(x), fi(x), i …   Математическая энциклопедия

  • Метод прогонки — или алгоритм Томаса (англ. Thomas algorithm) используется для решения систем линейных уравнений вида , где A трёхдиагональная матрица. Содержание 1 Описание метода 2 …   Википедия

  • МАТРИЧНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ МЕТОД — метод матричной прогонки, метод решения конечноразностных систем, аппроксимирующих краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в одномерных задачах и для уравнений эллиптич. типа в двумерных задачах. Решение трехточечной… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ — приближенные методы решения методы получения аналитич. выражений (формул), либо численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения (д. у.) или системы для одного или нескольких… …   Математическая энциклопедия

  • ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — численные методы раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов. Численные методы В. и. принято разделять на два больших класса: непрямые и прямые методы. Непрямые методы основаны на… …   Математическая энциклопедия

  • Диагональное преобладание — Говорят, что квадратная матрица обладает свойством диагонального преобладания, если причем хотя бы одно неравенство является строгим. Если все неравенства строгие, то говорят, что матрица обладает строгим диагональным преобладанием. Матрицы с… …   Википедия

  • Прогонка — Слово «прогонка» может означать: В слесарном деле: Прогонка (слесарные инструменты)  резьбонарезной инструмент для нарезания наружной резьбы вручную или на станке. В математике: Метод прогонки  метод решения систем линейных… …   Википедия

  • Матрица с диагональным преобладанием — Свойство диагонального преобладания матрицы Говорят, что матрица Ann обладает свойством диагонального преобладания, если причем хотя бы одно неравенство является строгим. Если все неравенства строгие, то говорят, что матрица Ann …   Википедия

  • РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее конечные разности искомой функции. функция целочисленного аргумента , конечные разности. Выражение содержит значения функции в (m+1) й точке п, n+1,. . ., п+т. Справедлива формула (1) …   Математическая энциклопедия

  • ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы решения уравнений параболич. типа на основе вычислительных алгоритмов. Для решения П. т. у. часто применяются приближенные численные методы, рассчитанные на использование быстродействующих ЭВМ. Наиболее… …   Математическая энциклопедия

Книги