ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ

численные методы решения- методы решения уравнений параболич. типа на основе вычислительных алгоритмов. Для решения П. т. у. часто применяются приближенные численные методы, рассчитанные на использование быстродействующих ЭВМ. Наиболее универсальным является метод сеток (конечно разностный метод).

Ниже рассмотрен метод сеток на примере уравнения теплопроводности

(1) с краевыми условиями 1-го рода

Вводится равномерная сетка узлов (x_i, t_n).

и обозначения

Метод сеток состоит в том, что уравнение (4) приближенно заменяется системой линейных алгебраич. уравнений (разностной схемой)

(2)

где s - числовой параметр и - сеточная аппроксимация функции f( х, t), напр. ).

Система уравнений (2) решается по слоям, т. е. для каждого n=0, 1, ... по известным значениям ,

находятся новые значения .

Если s=0 (явная схема), то выражаются явным образом через . Если же (неявные схемы), то относительно , i=l, 2, . . ., N-1, возникает система уравнений, имеющая трехдиагональную матрицу. Эта система уравнений решается прогонки методом. Недостатком явной схемы является сильное ограничение на шаг т, возникающее из условия устойчивости, а именно . Неявные схемы при абсолютно устойчивы, т. е. устойчивы при любых шагах hи т. Известны и другие разностные схемы для уравнения (1) (см. [1], [2]).

Если схема (2) устойчива и аппроксимирует f(x, t), то при h,решение разностной задачи сходится к решению u( х _i, t_n).исходной задачи (см. [1]). Порядок точности зависит от параметра а. Так, симметричная схема имеет второй порядок точности по t и по h, т. е. для каждого пвыполняется оценка

с константой М, не зависящей от hи t. При s=0,5-h²/(12t) и специальном выборе схема (2) имеет точность О(t²+h⁴). Для остальных s - точность O(t+h²).

При решении П. т. у. на больших отрезках временя существенное значение имеет асимптотич. устойчивость разностной схемы. Решение уравнения (1) с f(x, t)=0, и ₁ (г)=ц ₂ (г)=0 ведет себя при как е ^-l1t, l₁=p²/l². Этим свойством обладает не всякая разностная схема, аппроксимирующая уравнение (1). Напр., симметричная схема (s=0,5) асимптотически устойчива при условии . Построены схемы 2-го порядка точности, асимптотически устойчивые при любых t, h, однако они не входят в семейство (2) (см. [3]).

Краевые условия 3-го рода

аппроксимируются с порядком 0(h²).разностными уравнениями

Для уравнения теплопроводности в цилиндрич. и сферич. координатах

вводятся сетки (r_i,t_n), где t_n=nt,n=0,1, . . .,

и рассматриваются разностные уравнения (см. [4])

где

Для решения П. т. у. с переменными коэффициентами применяются однородные консервативные разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения, присущие исходному дифференциальному уравнению (см. [1], [5]). При построении разностных схем для П. т. у. с переменными коэффициентами применяются методы: баланса, вариационный, конечных элементов. Напр., для уравнения

используются разностные схемы с весами

где

Доказана сходимость и получены оценки погрешности однородных консервативных разностных схем для П. т. у. как в случае непрерывных, так и в случае разрывных коэффициентов (см. [1]).

Для решения систем уравнений параболич. типа, содержащих одну пространственную переменную, применяются те же разностные схемы, что и для одного уравнения. Вектор у ^п+1 решения на новом слое находится матричной факторизации методом.

При решении квазилинейного П. т. у. используются неявные абсолютно устойчивые разностные схемы. Решение yⁿ⁺¹ разностного уравнения находится итерационным методом с использованием прогонки. Напр., для уравнения

(3) применяют чисто неявную разностную схему

к-рую решают с помощью итерационного метода (s - номер итерации):

Решение на каждой итерации находится методом прогонки. При решении нелинейного П. т. у. нашли также применение схемы, основанные на идее Рунге - Кутта метода. Так, для уравнения (3) используется двухэтапный метод

Тестирование и проверка качества разностных схем для нелинейного П. т. у. проводится путем сравнения с точными автомодельными решениями, такими, напр., как решение типа температурной волны (см. [6]).

При решении многомерного П. т. у. используются переменных направлений методы, к-рые позволяют свести решение многомерной задачи к решению последовательности одномерных задач (см. [1], [7] - [10]). Предложено и исследовано значительное число абсолютно устойчивых алгоритмов переменных направлений. Эти алгоритмы являются экономичными в том смысле, что число арифметич. действий, необходимых для вычисления решения на новом временном слое t_n+1 имеет порядок числа узлов пространственной сетки. Ниже рассмотрен пример схемы переменных направлений для уравнения

(4)

в прямоугольнике G{0 < х _a< l_a, a=l, 2}. Вводится сетка

и обозначения

Уравнение (4) решается с помощью следующей разностной схемы

Эти уравнения записываются при i=l, . . ., N₁-1, j=1, . . ., N₂-1 и доопределяются соответствующими граничными условиями. Из первого уравнения прогонкой по направлению х ₁ для каждого j=1, 2, . . ., N₂-1 находится , а затем из второго уравнения прогонкой по направлению х ₂ для каждого i=l, 2, . . ., N₁-1 находится . Таким образом, вычислительный алгоритм состоит в последовательном применении одномерных прогонок.

Теоретич. основой построения и исследования экономичных разностных схем для многомерного П. т. у. является метод суммарной аппроксимации (см. [1], [8], [9]). Обобщением методов переменных направлений явились аддитивные экономичные схемы с уравнениями на графах и векторные схемы (см. [11]).

В случае нерегулярных пространственных сеток разностные схемы для П. т. у. строятся методом конечных элементов и методом баланса (см. [12]).

Для решения сеточных уравнений, возникающих при аппроксимации многомерного П. т. у. неявными разностными схемами, применяются эффективные прямые и итерационные методы, разработанные для эллиптических разностных краевых задач: метод разделения неременных, использующий алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье, метод циклич. редукции, попеременно-треугольный итерационный метод и др. (см. [13]).

Лит.:[1] Самарский А. А., Теория разностных схем, М., 1977; [2] Саульев В. К., Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток, М., 1960; [3] Самарский А. А., Гулин А. В., Устойчивость разностных схем, М., 1973; [4] Фрязинов И. В., "Ж. вычислит, матем. и матем. физ.", 1971, т. 11, № 5, с. 1219-28; [5] Марчук Г. И., Методы вычислительной математики, 2 изд., М., 1980; 1б] Самарский А. А., Соболь И. М., "Ж. вычислит, матем. и матем. физ.", 1963, т. 3, № 4, с. 702-19; [7J Яненко Н. Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [8] Самарский А. А., "Ж. вычислит, матем. и матем. физ.", 11)62, т. 2, № 1, с. 25-56; [9] Яненко Н. Н., кСиб. матем. ж.", 1964, т. 5, Mi 6, с. 1431 - 34; [10] Дьяконов Е. Г., "Ж. вычислит. матем. и матем. физ.", 1962, т. 2, № 4, с. 549-68; [11] Самарский А. А., Фрязинов И. В., "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, в. 6, с. 167-96; [12] Фрязинов И. В., "Дифференц. уравнения", 1980, т. 16, № 7, с. 1332-43; [13] Самарский А. А., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978.

А. В. Гулин.