- ПРОГОНКИ МЕТОД
- метод переноса одноточечного граничного условия с помощью дифференциального или разностного уравнения, соответствующего данному уравнению. Применяется для решения граничной задачи в том случае, когда пристрелки метод не эффективен.
Пусть на отрезке
задано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение
(1)
где квадратная матрица (х).порядка n и вектор f(x)
- известные непрерывные функции, дифференцируемая вектор-функция у(х) =
подлежит определению. К уравнению (1) присоединены граничные условия в форме
(2)
где известные матрицы j и y имеют размеры nx kи n x l и ранги k и l соответственно,
Используя дифференциальные уравнения
с начальными условиями u(а)=j, g(а)=a, где искомая дифференцируемая матрица-функция и(х).имеет размеры
, можно определить и(х).и g(х).на всем отрезке
(прямой ход прогонки). С помощью уравнения
и второго из граничных условий (2) можно определить значение у(b), если квадратная матрица [и(b),y] имеет ранг п. Искомое решение граничной задачи (1)-(2) вычисляется теперь как решение задачи Коши для уравнения (1) в направлении от точки х=b к точке х=а (обратный ход прогонки). Указанный метод применим и к многоточечной задаче, когда условия вида (2) задаются не только на концах, но и в нескольких внутренних точках отрезка
Разработаны варианты метода прогонки для переноса линейных граничных условий, отличных от (2) (см. [1]).
Достоинства П. м. видны на примере следующей граничной задачи:
где квадратная матрица Q(x).порядка пи вектор f(х).размера п - известные непрерывные функции, дважды дифференцируемая вектор-функция у(х).подлежит определению, известные квадратные матрицы j и y имеют порядок
Используя дифференциальные уравнения
с начальными условиями v(а)=j, g(a)=a, где искомая дифференцируемая квадратная матрица-функция v(х).имеет порядок
, ищутся v(x).и g(х).на всем отрезке
(прямой ход прогонки).
С помощью уравнения
и граничного условия (5) можно определить значение
(6)
если матрица v(b) -y имеет ранг п. Искомое решение граничной задачи (3) - (5) находится как решение задачи Коши для уравнения
с начальным условием (6) (обратный ход прогонки). Таким образом, П. м. для задачи (3) - (5) является методом понижения порядка дифференциального уравнения (3).
В случае конечной последовательности линейных алгебраич. уравнений
(7)
где коэффициенты а i, с i, bi- - известные квадратные матрицы порядка v, a fi и ji - известный и искомый вектор-столбцы размера v, a1=0, с n=0, алгоритм прогонки определяется следующим образом:
при условиях b1=0, z1=0 (прямой ход) и
при условии jn+1=0 (обратный ход). Здесь bi - квадратная матрица порядка v, zi и ji - вектор-столбцы размера v. Изложенный метод наз. методом правой прогонки. Аналогично формулам (8)- (10) получаются формулы левой прогонки. Комбинируя левую и правую прогонки, получают метод встречных прогонок. При решении уравнений (7) с сильно меняющимися коэффициентами применяется потоковый метод прогонки. Для нахождения периодич. решения бесконечной последовательности уравнений вида (7) с периодич. коэффициентами используется циклическая прогонка (см. [4]).
См. также Ортогональной прогонки метод.
Лит.:[1] Бахвалов Н. С., Численные Методы, 2изд., М., 1975; [2] Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И., Вычислительные методы, т. 2, М., 1977; [3] Марчук Г. И., Методы вычислительной математики, 2 изд., М., 1980; [4] Самарский А. А., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978.
А. Ф. Шапкин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.