ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

линейные методы приближения - методы приближения, определяемые линейными операторами. Если в линейном нормированном пространстве функций Xв качестве приближающего множества выбрано линейное многообразие , то любой линейный оператор U, сопоставляющий функции функцию U(f, t)=(Uf)(t).из так, что (a₁ и a₂ - любые числа), определяет линейный метод приближения (л. м. п.) функций пространства Xфункциями множества . Л. м. п. наз. проекционным, если U(f, t)=f(t).для всех f из , он наз. положительным, если для неотрицательных функций f(t).

Наибольший интерес представляет конечномерный случай, когда есть N-мерное подпространство, и тогда

(1)

где - базис , a c_k, - нек-рые определенные на Xлинейные функционалы. Выбор линейно независимой системы и набора функционалов может определяться той информацией о приближаемой функции f(t), к-рую предполагается использовать при построении линейного метода. Если c_k(f)⁼f(t_k), где - фиксированная система точек в области определения функции f(t).и j_k(t_i)⁼0 при

и

имеют интерполяционный метод (напр., интерполяционный многочлен Лагранжа, интерполяционный сплайн). Если Х=Н - гильбертово пространство функций и c_k (f) - коэффициенты Фурье функции f по ортонормированной системе {j_k(t)}, то суммы (1) дают линейный метод ортогонального проектирования Xна , причем в этом случае

т. е. этот метод реализует наилучшее приближение функции f линейными комбинациями функции j_k(t).

В теории л. м. п. функции особое внимание уделяется проблеме сходимости. Пусть X - банахово пространство, {j₁(t), j₂(t) ,...} - линейно независимая система функций из - подпространства, порожденные первыми Nфункциями этой системы, U_N(N=1, 2, ...) - линейные ограниченные операторы из X в. Сходимость U_N(f, t)f(t). (в смысле при ) для любой функции f(t) из Xимеет место тогда и только тогда, когда 1) последовательность норм операторов U_N ограничена (см. Банаха - Штейнхауза теорема). и 2) для всех функций f(t) из множества А, всюду плотного в X. Эти условия выполняются, в частности, в пространстве 2p-периодических функций при для операторов S_n, определяемых суммами Фурье

(2)

функции f по тригонометрич. системе, причем в качестве множества А, на к-ром проверяется условие 2), можно взять множество всех тригонометрич. полиномов. Если же Xесть пространство (непрерывных на всей оси с периодом 2p функций) или , то при (см. Лебега константы).и, следовательно, существуют в и в функции f(t), к к-рым последовательность {S_n(f, t)}не сходится в соответствующей метрике. Так как в банаховом пространстве функций Xс нормой, инвариантной относительно сдвига, для оператора линейного проектирования Xна подпространство Т _п тригонометрич. полиномов порядка псправедливо неравенство (см. [3]), то расходимость на и имеет место и для последовательности . В частности, это имеет место на для последовательности интерполяционных операторов Лагранжа по любой треугольной матрице узлов интерполирования. Аналогичные факты отрицательного характера наблюдаются и в непериодич. случае для операторов линейного проектирования пространств С[ а, b]и L₁[a, b]на подпространства А _п (n=1,2, ...) алгебраич. многочленов степени п. Факт расходимости последовательности (2) для нек-рых функций из побудил ввести в рассмотрение различные усреднения сумм Фурье, не обладающие таким недостатком. Таковы, напр., Фейера сумма, Бернштейна - Рогозинского метод суммирования, К-рые являются частным случаем (при определенном выборе числовых множителей ) полиномов вида

(3)

Так как

(4)

то средние (3) входят в весьма широкий класс л. м. п., представимых в виде свертки функции f с нек-рым (сингулярным) ядром, свойствами к-рого (в данном случае свойствами треугольной матрицы чисел ) и определяется решение вопроса о сходимости. Если

то суммы (3) равномерно сходятся, когда f(t).-тригонометрич. полином, и значит, выполнено условие 2). Для ограниченности норм , как операторов из в , необходимо, чтобы

(1)

и (1) равномерно по пи k=i, 2, . . ., п. Эти условия становятся и достаточными для ограниченности последовательности {}, если наложить на матрицу {}. нек-рые дополнительные требования (напр., выпуклость или вогнутость по строкам). По аналогии с (3) с помощью матрицы множителей {} строятся также средн-ие на базе сумм Фурье - Чебышева (для ), а также на базе интерполяционных полиномов Лагранжа по узлам 2kp/(2n+i). (впериодич. случае) или по узлам cos [(2k-1)p/(2n+2)] на отрезке [-1, 1] (см., напр., [6]).

Вопрос о сходимости линейных положительных операторов , действующих из С[ а, b]в А _п или из в Т _п (в частности, операторов вида (4) с положительным ядром), решается на трех пробных функциях (см. [1]): для равномерной сходимости последовательности или к необходимо и достаточно, чтобы это имело место для функций 1, t, t² или соответственно для функций 1, sin t,cos t.

Исследование погрешности приближения, доставляемой л. м. п., сводится, чаще всего, к изучению скорости сходимости U_N(f, t).к f(t), оценке погрешности через дифференциально-разностные характеристики приближаемой функции, выяснению вопроса о том, как реагирует л. м. п. на улучшение ее гладкостных свойств.

При оценке аппроксимативных свойств л. м. п. (1) естественным ориентиром служит наилучшее приближение функции f подпространством Лебега неравенство

(5)

показывает в сопоставлении с Джексона неравенством

(w (g,d) - модуль непрерывности функции ), что, хотя порядок приближения суммами Фурье несколько хуже наилучшего (In n в (5) нельзя заменить константой), эти суммы реагируют на любое повышение порядка дифференцируемости приближаемой функции. Для нек-рых же л. м. п. порядок приближения не может быть выше определенной величины, сколько бы производных ни имела функция f(t).(эффект насыщения). Так, порядок приближения линейными положительными полиномиальными операторами не может быть выше О(n^-2); для сумм Фейера порядок насыщения О( п ^-1), для сумм Бернштейна - Рогозинского О( п ^-2). Интерполяционные сплайны при определенном выборе узлов склейки обеспечивают наилучший порядок погрешности приближения не только самой функции, но и нек-рых ее первых производных - в зависимости от степени многочленов, из к-рых склеен сплайн (см. [7], [8]).

В отдельных случаях для конкретных л. м. п. найдены точные или асимптотически точные оценки погрешности на классах функций. Видимо, первый нетривиальный результат такого рода был получен А. Н. Колмогоровым, к-рый в 1935 установил, что

где W^rK(r=1, 2, . . .) - класс функций , у к-рых f^(r-1)(t).абсолютно непрерывна на [0, 2p] и почти всюду . В дальнейшем аналогичного характера результаты были получены для сумм Фурье (и для нек-рых их средних) на других важных классах функций, задаваемых, напр., мажорантой модуля непрерывности r-й производной (см. [2], [6], [9]). Особый интерес представляют л. м. п. (1), в точности реализующие на том или ином классе функций верхнюю грань наилучших приближений подпространством Таким свойством для классов W^rK(r=1, 2, ...) обладают при определенном выборе суммы вида (3), напр., при r=1 надо положить

,

а также интерполяционные сплайны порядка r-1 дефекта 1 с узлами склейки kp/n (k=0,1, 2, . . .) (см. [4], а также Приближение функций;экстремальные задачи на классах функций, Наилучший линейный метод). Лит.:[1] Куровкин Н . П., Линейные операторы и теория приближений, М., 195!); [2] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [3]. Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [4] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [5] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [8] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960; [7] Алберг Д ж., Нильсон Э., Уолш Д ж.. Теория сплайнов и ее приложения, пер. с англ., М., 1972; [8] Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н., Сплайны в вычислительной математике, М., 1976; [9] Степанец А. И., Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы, К., 1981. Н. П. Корнейчук.