ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

топология, пространство X с пучком непрерывных действительных функций с аксиоматически фиксируемыми в той или иной форме тремя основными свойствами классических гармонических функций:свойство сходимости, выражаемое второй Гарнака теоремой;принцип экстремума; разрешимость Дирихле задачи для достаточно широкого класса открытых множеств из X. Функции пучка получают наименование гармонич. функций; преимущество этого аксиоматич. подхода состоит в том, что с его помощью в теорию включаются решения не только Лапласа уравнения, но и нек-рых других уравнений эллиптич. и параболич. типов. Пусть X - локально компактное топологич. пространство. Под пучком функций на Xздесь понимается отображение определенное на семействе всех открытых множеств из и такое, что: 1) есть семейство функций на U; 2) если то сужение любой функции из (V).на Uпринадлежит ; 3) для любого семейства функция на принадлежит если для всех ее сужение на принадлежит Пучок функций наз. гипергармоническим, если для любого есть выпуклый конус полунепрерывных и конечных снизу действительных функций на . Пучок функций наз. гармоническим, если для любого есть действительное векторное пространство непрерывных функций на U;в дальнейшем используется только гармонич. пучок

Локально компактное пространство Xназ. Т. <п., если выполняются следующие аксиомы (см. [3]).

Аксиома положительности: пучок невырожден во всех точках , т. е. для любого существует функция , определенная в окрестности д-, причем .

Аксиома сходимости: если возрастающая последовательность функций из локально ограничена, то она сходится к функции из .

Аксиома разрешимости: существует базис разрешимых открытых множеств U, т. е. таких, что для любой непрерывной функции f с компактным носителем на существует обобщенное в смысле Винера - Перрона (см. Перрона метод).решение задачи Дирихле для Uиз .

Аксиома мажоранты: если полунепрерывная и конечная снизу функция на для любого относительно компактного множества такого, что удовлетворяет условию

на V, то .

Евклидово пространство с пучком клас-снч. решений уравнения Лапласа или теплопроводности уравнения образует Г. п. Имеется ряд других вариантов аксиоматики гармонич. пространств. Г. п. локально связны, не содержат изолированных точек; они имеют базис из связных разрешимых множеств.

Гипергармонич. функция ина Г. п. Xназ. супергармонической, если для любого относительно компактного разрешимого множества Vнаибольшая миноранта есть гармонич. функция. Положительная супергармонич. функция, для к-рой любая гармонич. миноранта тождественно равна нулю, наз. потенциалом. Г. п. Xназ. -гармоническим (или -гармоническим), если для любого существует положительная супергармонич. функция и(пли, соответственно, потенциал и).на Xтакая, что

Любое Г. п. допускает покрытие такими открытыми множествами U, для к-рых выполняется принцип минимума в следующей форме: если гипергармоническая функция положительна вне пересечения Uс любым компактом из Xи

для всех В случае -гармонич. пространства этот принцип минимума выполняется для всех открытых множеств. Евклидово пространство с пучком классич. решений уравнения Лапласа при образует -гармонич. пространство, а при оно образует -гармонич. пространство; пространство с пучком решений уравнения теплопроводности образует p-гармонич. пространство.

Основными вопросами теории Г. п. являются: теория разрешимости задачи Дирихле, включающая исследование поведения обобщенного решения этой задачи в граничных точках; теория емкости множеств в Г. п.; изучение проблемы выметания (см. Выметания метод).и Робе на задачи.

Лит.:[1] Вrе1оt M., Lectures on potential theory, Bombay, 1960; [2] Bauer H., Harmonische Raume imd ihre Potentialtheorie, В., 1966 (Lecture Notes in Mathematics, № 22); [3] Constantinescu C., Cornea A., Potential theory on harmonic spaces, В., 1972: [4] Брело М., О топологиях и границах в теории потенциала, пер. с англ., М., 1974.

Е. Д. Соломенцев.