ЛИНЕЙНОЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И СИСТЕМА

- дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида

где

- натуральные, р - целое,

рассматриваемое в области Dпеременных

Система (1) наз. параболической (по Петровскому) в точке

если корни

многочлена по

удовлетворяют неравенству

Здесь

с мнимой единицей i и

- символ Кронекера.

Система (1) параболическая в D, если неравенство (2) выполняется для всех и равномерно параболическая в D, если

с нек-рой постоянной

Для случая уравнения 2-го порядка

можно дать другое определение параболичности. Для заданной точки существует аффинное преобразование, приводящее (3) к виду

где при Уравнение (3) параболическое в точке х ⁰, если одно из равно нулю, остальные и имеют одинаковые знаки и Уравнение (3) параболическое в области D, если оно параболическое в каждой ее точке. Если коэффициенты параболического в Dуравнения (3) достаточно гладкие, то в окрестности каждой точки невырожденной заменой переменных его можно привести к виду

с положительно определенной формой

Типичным представителем параболич. уравнения является теплопроводности уравнение

основные свойства к-рого сохраняются и для общих параболич. уравнений.

Для уравнения (4) основными являются следующие задачи.

Задача Коши - Дирихле: найти функцию и( х, t), к-рая при удовлетворяет уравнению (4), а при t=0 - начальному условию

Первая краевая задача, в к-рой уравнение (4) задано в цилиндре

где - нек-рая область пространства Требуется найти функцию м, удовлетворяющую уравнению (4), начальному условию

и краевому условию

Вторая и третья краевые задачи отличаются от первой лишь условием (6), к-рое заменяется вторым краевым условием

или соответственно третьим

где - компоненты внешней нормали.

Классич. постановка указанных задач требует от решения непрерывности в замкнутой области, непрерывности вторых производных внутри и в случае второй и третьей краевых задач непрерывности первых производных вплоть до боковой поверхности цилиндра Кроме того, для задачи Коши - Дирихле, а в случае неограниченности и для краевых задач требуется ограниченность решения ипри (или, более общо, надлежащим образом заданный рост |u|).

Пусть уравнение (4) равномерно параболическое, коэффициенты уравнения, начальных и краевых условий и граница области достаточно гладки. Тогда решения задачи Коши - Дирихле и первой краевой задачи существуют и единственны. Если и выполнены необходимые условия согласования, то аналогичный результат справедлив и для второй и третьей краевых задач.

Единственность указанных задач следует из принципа максимума. Пусть коэффициенты уравнения (4) непрерывны в область ограничена,

и

Тогда для любого решения

уравнения (4) справедлива оценка

Принцип максимума допускает распространение и на случай неограниченных областей. Кроме того, для параболич. уравнений имеет место аналог принципа Заремба - Жиро о знаке наклонной производной в точке экстремума, известного в теории эллиптич. уравнений.

В теории параболич. уравнений важную роль играют фундаментальные решения. В случае уравнения теплопроводности (5) им является функция

при удовлетворяющая уравнению (5), причем для любой ограниченной непрерывной в функции

равномерно на компактных подмножествах точек В частности, при получается решение

задачи Коши - Дирихле. На значение решения и в точке ( х, t), t>0, влияют все значения функции. Это служит выражением того факта, что возмущения задачи Коши - Дирихле распространяются с бесконечной скоростью. В этом существенное отличие параболич. уравнений от гиперболических, где скорость распространения возмущений конечна.

Фундаментальные решения могут быть построены и для общих параболич. уравнений и систем при весьма широких предположениях относительно гладкости коэффициентов.

Лит.:[1] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [2] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., 1967; [3] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [4] Эйдельман С. Д., Параболические системы, М., 1964; [5] Иль и н А. М., Калашников А. С., О л е и н и к О. А., "Успехи матем. наук", 1962, т. 17, в. 3., с. 3-46. А. П. Солдатов.