ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ

ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ

- обобщение понятия классич. решений дифференциальных (псевдодифференциальных) уравнений. Это понятие возникло в связи с многими задачами математич. физики, когда под решениями дифференциальных уравнений потребовалось понимать функции, не имеющие достаточного числа производных, и даже вовсе недифференцпруемые функции, а также более общие объекты - обобщенные функции, гиперфункции и т. д. Поэтому понятие О. р. тесно связано с понятием обобщенной производной и вообще обобщенной функции.

Под обобщенным решением дифференциального уравнения

в классе . понимается всякая обобщенная функция ииз , удовлетворяющая уравнению (1) в О, т. е. для любой основной функции должно

быть выполнено равенство - сопряженный оператор к Lв смысле Лагранжа:

О. р. краевых задач для дифференциальных уравнений удовлетворяют краевым условиям в надлежащем обобщенном смысле (в L р( дО). или D'( дО )и т. д.), напр.: ),

О. р. краевых задач для дифференциальных уравнений возникают при решении их вариационными методами, при применении разностных методов, а также как слабые пределы классич. решений при применении Фурье метода, предельного поглощения принципа, предельной амплитуды принципа, методов, связанных с введением вязкости, и т. д.

Примеры. 1) Общее решение уравнения в классе дается формулой

где - функция Хевисайда: - дельта-функция Дирака, - здесь и далее произвольные постоянные.

2) Уравнение имеет одно решение в классе , равное а в классе гиперфункций общее решение его дается формулой

3) Общее решение волнового уравнения в классе дается формулой где f и g- произвольные функции класса

4) Всякое решение ииз D'(0) уравнения Лапласа - (вещественно) аналитическое в О.

5) Всякое решение ииз D' уравнения теплопроводности - бесконечно дифференцируемое.

6) Всякий дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение (медленного роста) из класса S'.

7) Всякое уравнение - дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, имеет при любом из О. р. и из если О- ограниченная область.

8) О. р. икраевой задачи

в классе Соболева возникает как решение классической вариационной задачи о минимуме квадратичного функционала

в классе . Решение этой вариационной задачи при любом f из существует и единственно в классе . Таким образом, О. р. краевой задачи (2) при всех дают самосопряженное расширение оператора (жесткое расширение, или расширение по Фридрихсу). О. р. краевой задачи (2), как и все их производные,- регулярные в О(т. е. типа локально интегрируемых функций в О), вторые их, производные, вообще говоря,- сингулярные обобщенные функции.

Лит.:[1] Соболев С. Л., "Матем. сб.", 1936, т. 1, № 1, с. 39-72; [2] его же, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962; [3] Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; [4] Гельфанд И. M, Шилов Г. Е., Некоторые вопросы дифференциальных уравнений, М., 1958; [5] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965; [6] Hyperfunctions and pseudo-differential eduations, В.- [u. a.], 1973; [7] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [8] его же, Обобщенные функции в математической физике, М., 2 изд., 1979.

В. С. Владимиров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ" в других словарях:

  • РЕШЕНИЕ — 1) обобщенное наименование правовых актов, принимаемых различными органами государственной власти или органами местного самоуправления, должностными лицами; 2) вид правовых актов, принимаемых в настоящее время представительными органами местного… …   Энциклопедический словарь конституционного права

  • КВАЗИРЕШЕНИЕ — обобщенное решение некорректных задач, к рое (при достаточно общих условиях), в отличие от истинного решения, удовлетворяет условиям корректности по Адамару. Пусть X, Y метрические пространства, М множество из X. Квазирешением уравнения на… …   Математическая энциклопедия

  • МОНЖА - АМПЕРА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными 2 го порядка вида коэффициенты к рого зависят от переменных x, у, неизвестной функции z( х, у )и ее первых производных Тип М. А. у. зависит от знака выражения Если , М. А. у. есть уравнение… …   Математическая энциклопедия

  • ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ — в первоначальном понимании учение о свойствах сил, действующих по закону всемирного тяготения. В формулировке этого закона, данной И. Ньютоном (I. Newton, 1687), речь идет только о силах взаимного притяжения, действующих на две материальные… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ — задачи отыскания решений и( х, t) = (u1(x, t),..., и т( х, t) в области Dевклидова пространства =(x1, . . ., х п, t) точка пространства ) параболич. системы уравнений или при m =1параболич. уравнения, удовлетворяющих нек рым дополнительным… …   Математическая энциклопедия

  • ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА — задача отыскания регулярной в области Dгармонич. функции u, к рая на границе Г области Dсовпадает с наперед заданной непрерывной функцией j. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптич. уравнения 2 го порядка, принимающего наперед… …   Математическая энциклопедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы приближенного отыскания решений дифференциальных уравнений с частными производными эллиптич. типа. Среди различных классов задач, к рые ставятся для Э. т. у., наиболее хорошо изучены краевые задачи и задачи с… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ УРАВНЕНИЯ — математическое выражение основных законов сохранения массы, импульса, энергии газа, описывающих состояние газа. Газ есть совокупность большого числа частиц (молекул, атомов, ионов), находящихся в непрерывном хаотич. движении. Учет взаимодействия… …   Математическая энциклопедия

  • ИРРЕГУЛЯРНАЯ ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА — точка у 0 границы Г области D, для к рой существует такая непрерывная граничная функция f(y)на Г, что обобщенное решение Дирихле задачи в смысле Винера Перрона (см. Перрона метод) и (х)не принимает в точке у 0 граничного значения f(y0), т. е.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»