ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ


ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ

- обобщение понятия классич. решений дифференциальных (псевдодифференциальных) уравнений. Это понятие возникло в связи с многими задачами математич. физики, когда под решениями дифференциальных уравнений потребовалось понимать функции, не имеющие достаточного числа производных, и даже вовсе недифференцпруемые функции, а также более общие объекты - обобщенные функции, гиперфункции и т. д. Поэтому понятие О. р. тесно связано с понятием обобщенной производной и вообще обобщенной функции.

Под обобщенным решением дифференциального уравнения

в классе . понимается всякая обобщенная функция ииз , удовлетворяющая уравнению (1) в О, т. е. для любой основной функции должно

быть выполнено равенство - сопряженный оператор к Lв смысле Лагранжа:

О. р. краевых задач для дифференциальных уравнений удовлетворяют краевым условиям в надлежащем обобщенном смысле (в L р( дО). или D'( дО )и т. д.), напр.: ),

О. р. краевых задач для дифференциальных уравнений возникают при решении их вариационными методами, при применении разностных методов, а также как слабые пределы классич. решений при применении Фурье метода, предельного поглощения принципа, предельной амплитуды принципа, методов, связанных с введением вязкости, и т. д.

Примеры. 1) Общее решение уравнения в классе дается формулой

где - функция Хевисайда: - дельта-функция Дирака, - здесь и далее произвольные постоянные.

2) Уравнение имеет одно решение в классе , равное а в классе гиперфункций общее решение его дается формулой

3) Общее решение волнового уравнения в классе дается формулой где f и g- произвольные функции класса

4) Всякое решение ииз D'(0) уравнения Лапласа - (вещественно) аналитическое в О.

5) Всякое решение ииз D' уравнения теплопроводности - бесконечно дифференцируемое.

6) Всякий дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение (медленного роста) из класса S'.

7) Всякое уравнение - дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, имеет при любом из О. р. и из если О- ограниченная область.

8) О. р. икраевой задачи

в классе Соболева возникает как решение классической вариационной задачи о минимуме квадратичного функционала

в классе . Решение этой вариационной задачи при любом f из существует и единственно в классе . Таким образом, О. р. краевой задачи (2) при всех дают самосопряженное расширение оператора (жесткое расширение, или расширение по Фридрихсу). О. р. краевой задачи (2), как и все их производные,- регулярные в О(т. е. типа локально интегрируемых функций в О), вторые их, производные, вообще говоря,- сингулярные обобщенные функции.

Лит.:[1] Соболев С. Л., "Матем. сб.", 1936, т. 1, № 1, с. 39-72; [2] его же, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962; [3] Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; [4] Гельфанд И. M, Шилов Г. Е., Некоторые вопросы дифференциальных уравнений, М., 1958; [5] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965; [6] Hyperfunctions and pseudo-differential eduations, В.- [u. a.], 1973; [7] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [8] его же, Обобщенные функции в математической физике, М., 2 изд., 1979.

В. С. Владимиров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.