- АФФИННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО
, аффинное алгебраическое
-множество,- множество решений нек-рой системы алгеб-раич. уравнений. Пусть
поле и
- его алгебраич. замыкание. Подмножество Xдекартова произведения
наз. аффинным алгебраическим
множеством, если его точки являются общими нулями нек-рого семейства S многочленов кольца
. Множество
всех многочленов из
обращающихся в нуль на
, образует идеал, к-рый наз. идеалом аффинного алгебраического
-множества. Идеал
совпадает с радикалом идеала
, порожденного семейством S, т. е. с множеством таких многочленов
для иек-рого натурального т. А. а. м. Xи Yсовпадают тогда и только тогда, когда
А. а. м. Xможет быть задано системой образующих идеала
В частности, всякое А. а. м. может быть задано конечным числом многочленов
Равенства
наз. уравнениями А. а. м. X. А. а. м. пространства
образуют решетку относительно операций пересечения и объединения. При этом идеал пересечения
совпадает с суммой идеалов
, а идеал объединения
- с пересечением идеалов
. Все множество
является А. а. м., к-рое наз. аффинным пространством над полем kи обозначается
ему соответствует нулевой идеал. Пустое подмножество множества
тоже есть А. а. м. с единичным идеалом. Факторкольцо
наз. координатным кольцом А. а. м. X. Оно отождествляется с кольцом k-регулярных функций на X, т. е. с кольцом
-значных функций f :
для к-рых существует такой многочлен
что
для всех
. А. а. м. Xназ. неприводимым, если оно не является объединением двух собственных аффинных алгебраич. подмножеств. Эквивалентное определение состоит в том, что идеал
должен быть простым. Неприводимые А. а. м. вместе с проективными алгебраич. множествами являлись объектами классической алгебраич. геометрии. Они наз. соответственно аффинными алгебраическими многообразиями и проективными алгебраическими многообразиями над полем k(или k-многообразиями). А. а. м. наделяются структурой топологич. пространства. Замкнутыми множествами этой топологии ( Зариского топологии).являются неприводимые аффинные алгебраич. подмножества. А. а. м. неприводимо тогда и только тогда, когда оно неприводимо как топологич. пространство. Дальнейшее развитие понятия А. а. м. приводит к понятиям аффинного многообразия и аффинной схемы.
Лит.:[1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.
И. В. Долгачев, В. А. Исковских.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.